h3. Rezolvare:

În această problemă urmăm raţionamentul de până acum. Este evident că trebuie ca fiecare plan să se intersecteze cu fiecare, că oricare trei plane trebuie să nu se intersecteze într-o dreaptă, oricare trei plane nu trebuie să fie paralele cu o dreaptă şi oricare patru plane nu trebuie să se intersecteze într-un punct. Notăm p(n) numărul maxim de zone în care n plane împart spatiul. Când adaugăm un nou plan acesta va fi intersectat de celelalte plane în n drepte, drepte care după restrictiile care le-am pus nu vor fi două paralele sau trei care să se intersecteze într-un punct. Acest plan va fi împărţit în d(n)  regiuni de aceste drepte din cauza restricţiilor impuse. Fiecare regiune din plan taie o zonă din spaţiu în două noi zone, de aici tragem concluzia că p(n + 1) = d(n) + p(n). Astfel avem p(n) =  n(n-1)/2 + 1 + (n-1)(n-2)/2 + 1 + ... +2 * 1 / 2 + 1 + p(1) = ( n^2^ – n + (n-1)^2^ – (n-1)+ ... + 2^2^ – 2  +  1 – 1 + (n – 1) )/2+ 2 = ( n(n+1)(2n + 1)/6 – n(n+1)/2 + (n-1))/2 + 2  = (n^3^/3 + n^2^/2 + n/6 – n^2^/2 – n/2 )/2 + n + 1 = n^3^/ 6 + 5n/6 + 1. Am folosit identităţile 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 şi 1 + 2^2^ + 3^2^ + … + n^2^ = n(n+1)(2n+1)/6 care se pot demonstra uşor prin inducţie.

În această problemă urmăm raţionamentul de până acum. Este evident că trebuie ca fiecare plan să se intersecteze cu fiecare, că oricare trei plane trebuie să nu se intersecteze într-o dreaptă, oricare trei plane nu trebuie să fie paralele cu o dreaptă şi oricare patru plane nu trebuie să se intersecteze într-un punct. Notăm p(n) numărul maxim de zone în care n plane împart spatiul. Când adaugăm un nou plan acesta va fi intersectat de celelalte plane în n drepte, drepte care după restrictiile care le-am pus nu vor fi două paralele sau trei care să se intersecteze într-un punct. Acest plan va fi împărţit în d(n)  regiuni de aceste drepte din cauza restricţiilor impuse. Fiecare regiune din plan taie o zonă din spaţiu în două noi zone, de aici tragem concluzia că p(n + 1) = d(n) + p(n). Astfel avem p(n) =  n(n-1)/2 + 1 + (n-1)(n-2)/2 + 1 + ...+2 * 1 / 2 + 1 + p(1) = ( n^2^ – n + (n-1)^2^ – (n-1)+... + 2^2^ – 2  +  1 – 1 + (n – 1) )/2+ 2 = ( n(n+1)(2n + 1)/6 – n(n+1)/2 + (n-1))/2 + 2  = (n^3^/3 + n^2^/2 + n/6 – n^2^/2 – n/2 )/2 + n + 1 = n^3^/ 6 + 5n/6 + 1. Am folosit identităţile 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 şi 1 + 2^2^ + 3^2^ + … + n^2^ = n(n+1)(2n+1)/6 care se pot demonstra uşor prin inducţie.

Menţionăm că dacă vrem să împărţim un cub, un cilindru o sfera etc în număr maxim de regiuni folosind n plane, formula se păstrează.
h2(#problema-7). Problema 7: