Trecerea de la $O(N*K^2^)$ la $O(N*K)$ se face cu ajutorul sumelor parţiale.
Observăm că, dacă atunci când parcurgem cu $j$-ul ţinem o variabilă $suma$ = <tex> \displaystyle \ \sum_{x=0}^{j-1} dp[i-1][x]</tex> pe care o updatăm adăugând <tex>dp[i-1][j]</tex> si o variabila $suma_de_suma$ pe care o updatăm cu $s$, acestea vor arata aşa:

*j=1 =>

*$j=1 =>

<tex>suma = dp[i-1][0]</tex> = 1

         <tex>suma@_de_@suma = dp[i-1][0]</tex> = 1

         <tex>suma@_de_@suma = dp[i-1][0]</tex> = 1$

care devin după update

        <tex>suma = dp[i-1][0]+dp[i-1][j]</tex>
        <tex>suma@_de_@suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>
*j=2 =>

        $<tex>suma = dp[i-1][0]+dp[i-1][j]</tex>$
        $<tex>suma@_de_@suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>$
*$j=2 =>

<tex>suma = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>

         <tex>suma@_de_@suma = 2*dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>

         <tex>suma@_de_@suma = 2*dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$

care devin după update

         <tex>suma = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>
         <tex>suma@_de_@suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>

         $<tex>suma = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$
         $<tex>suma@_de_@suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>$