Trecerea de la $O(N*K^2^)$ la $O(N*K)$ se face cu ajutorul sumelor parţiale.
Observăm că, dacă atunci când parcurgem cu $j$-ul ţinem o variabilă $suma$ = <tex> \displaystyle \ \sum_{x=0}^{j-1} dp[i-1][x]</tex> pe care o updatăm adaugând <tex>dp[i-1][j]</tex> si o variabila $suma_de_suma$ pe care o updatăm cu $s$, acestea vor arata aşa:

*$j=1 =>
suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1

*$j=1 => suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1

         suma_de_suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1$
care devin după update
        $suma = <tex>dp[i-1][0]+dp[i-1][j]</tex>$
        $suma_de_suma=<tex>2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>$

*$j=2 =>
suma = <tex>dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>

*$j=2 => suma = <tex>dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>

         suma_de_suma = <tex>2*dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$
care devin după update
         $suma =<tex> dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$