Trecerea de la $O(N*K^2^)$ la $O(N*K)$ se face cu ajutorul sumelor parţiale.
Observăm că, dacă atunci când parcurgem cu $j$-ul ţinem o variabilă $suma$ = <tex> \displaystyle \ \sum_{x=0}^{j-1} dp[i-1][x]</tex> pe care o updatăm adaugând <tex>dp[i-1][j]</tex> si o variabila $suma_de_suma$ pe care o updatăm cu $s$, acestea vor arata aşa:

*$j=1 => suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1 şi suma_de_suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1$, care devin după update $suma = <tex>dp[i-1][0]+dp[i-1][j]</tex>$, respectiv $suma_de_suma=<tex>2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>$
*$j=2 => suma = <tex>dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex> şi suma_de_suma = <tex>2*dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$, care devin după update $suma =<tex> dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$, respectiv $suma_de_suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]$

*$j=1 => suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1
         suma_de_suma = <tex>dp[i-1][0]</tex> = 1$
care devin după update
        $suma = <tex>dp[i-1][0]+dp[i-1][j]</tex>$
        $suma_de_suma=<tex>2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]</tex>$
*$j=2 => suma = <tex>dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>
         suma_de_suma = <tex>2*dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$
care devin după update
         $suma =<tex> dp[i-1][0] + dp[i-1][1]</tex>$
         $suma_de_suma=2*dp[i-1][0]+dp[i-1][1]$