h1. The Monty Hall Problem

(Categoria _Diverse_, autor(i) _Alexandra Gartu_)

(Categoria _Matematica_, Autor _Alexandra Gartu_)

Acesta este primul dintr-o serie de articole in care nu vom discuta despre algoritmi clasici, structuri de date sau competitii de informatica. Vreau sa va prezint periodic cate o problema de logica ce presupune doar cunostinte elementare de matematica.

(toc){width: 20em}*{text-align:center;} *Continut*
* 'Problema':the-monty-hall-problem#problema
* 'Argumentul 1':the-monty-hall-problem#argument1
* 'Argumentul 2':the-monty-hall-problem#argument2
* 'Putina matematica... sau Argumentul 3':the-monty-hall-problem#argument3
* 'Putina istorie...':the-monty-hall-problem#istorie

Scopul aceste serii este de ne "antrena" mintea / perspicacitatea iar legatura cu informatica vine din faptul ca multe din problemele pe care le rezolvati la informatica presupun idei mai mult decat cunostinte clasice.

In acest articol nu vom discuta despre algoritmi clasici, structuri de date sau competitii de informatica. Vreau sa va prezint o problema de logica ce presupune doar cunostinte elementare de matematica. Scopul este de a ne "antrena" mintea / perspicacitatea, iar legatura cu informatica vine din faptul ca multe din problemele pe care le rezolvati la informatica presupun idei mai mult decat cunostinte clasice.

Problema celor trei porti se refera la faimoasa situatie din show-urile televizate (in speta "Let's Make a Deal", prezentat de americanul Monty Hall) cand unul dintre concurenti trebuie sa aleaga intre una din cele 3 porti: in spatele a doua dintre ele se afla o capra iar in spatele cei de-a treia se afla un Rolls Royce. Dupa ce a ales prima data, concurentului i se arata una din capre, din spatele uneia din usile pe care NU le-a ales. Intrebarea care se pune este daca respectivul concurent ar trebui sau nu sa-si schimbe optiunea dupa aceasta dezvaluire.

h2(#problema). Problema

h2. Argumentul 1

Problema celor trei porti se refera la faimoasa situatie din show-urile televizate (in speta "Let's Make a Deal", prezentat de americanul Monty Hall) cand unul dintre concurenti trebuie sa aleaga una din cele $3$ porti: in spatele a doua dintre ele se afla cate o capra, iar in spatele celei de-a treia se afla un Rolls Royce. Dupa ce concurentul a ales prima data, prezentatorul (stiind unde se gaseste Rolls Royce-ul) ii arata una din capre, din spatele uneia din usile pe care NU le-a ales. Intrebarea care se pune este daca respectivul concurent ar trebui sau nu sa-si schimbe optiunea dupa aceasta dezvaluire.

Initial, sansele de a alege poarta corecta sunt de {$1/3$}. Vom demonstra in continuare ca faptul ca ti-a fost aratata o capra nu schimba cu nimic probabilitatea ca prima oara sa fi ales corect. Sansele ca prima decizie sa fie corecta inca sunt de {$1/3$} deci ar trebui sa iti modifici decizia fiindca acum in spatele celei de-a treia porti exista {$2/3$} sanse sa se afle un Rolls Royce.

h2(#argument1). Argumentul 1
 
Initial, sansele de a alege poarta corecta sunt de {$1/3$}. Faptul ca ti-a fost aratata o capra nu schimba cu nimic probabilitatea ca prima oara sa fi ales corect. Sansele ca prima decizie sa fie corecta inca sunt de {$1/3$}, deci ar trebui sa iti modifici decizia fiindca acum in spatele celei de-a treia porti exista {$2/3$} sanse sa se afle un Rolls Royce.

Exista asadar doua cazuri:

Sa presupunem acum ca iti schimbi decizia:

# avusesei dreptate la prima decizie - sansele sa pierzi sunt $2/3$
# Cazul II - gresisei prima oara - sanse sa castigi sunt $2/3$

# avusesei dreptate la prima decizie - sansele sa pierzi sunt $1/3$
# gresisei prima oara - sansele sa castigi sunt $2/3$

h2. Argumentul 2

h2(#argument2). Argumentul 2

Modificam ipoteza considerand ca avem intial $100$ de usi. Alegem una dintre ele avand $99/100$ sanse sa ghicim gresit. Moderatorul emisiunii ne arata $98$ de capre. Dupa acest pas inca nu stim in spatele careia din usi se afla masina: asta inseamna ca sansele de a gici sunt $1/2$ ? In mod cert nu: sansa de a ghici a fost initial si a ramas {$1/100$}. Deci, in mod cert este indicat sa schimbam decizia initial.

Modificam ipoteza considerand ca avem initial $100$ de usi. Alegem una dintre ele avand $99/100$ sanse sa ghicim gresit. Din nou moderatorul emisiunii stie unde este Rolls Royce-ul, asa ca ne arata $98$ de capre. Dupa acest pas inca nu stim in spatele careia din usi se afla masina: asta inseamna ca sansele de a ghici sunt $1/2$? In mod cert, nu: sansa de a ghici a fost initial si a ramas {$1/100$}. Deci, in mod sigur este indicat sa schimbam decizia initiala.

h2. Putina matematica...sau Argumentul 3

h2(#argument3). Putina matematica... sau Argumentul 3

Sa numim cele $3$ porti {$A, B, C$}. Sa presupunem ca ai ales poarta $A$ si ca Monty Hall ti-a aratat o capra in spatele usii {$B$}.

* Probabilitate ca masina sa se afle in spatele portii {$X = P(X) = 1/3$}
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiu se afla la {$A$}: $P(moderatorul deschide B | A) = 1/2$
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiu se afla la {$B$}: $P(moderatorul deschide B | B) = 0$
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiu se afla la {$C$}: $P(moderatorul deschide B | C) = 1$

* Probabilitatea ca masina sa se afle in spatele portii $X$: {$P(X) = 1/3$}
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiul se afla la {$A$}: $P(moderatorul deschide B | A) = 1/2$
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiul se afla la {$B$}: $P(moderatorul deschide B | B) = 0$
* Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ daca premiul se afla la {$C$}: $P(moderatorul deschide B | C) = 1$

h3. Concluzii
Probabilitatea ca moderatorul sa deschida poarta $B$ este:

$P(moderatorul deschide B) = P(A) * P(moderatorul deschide B|A) +$
$P(B) * P(moderatorul deschide B|B) + P(B) * P(moderatorul deschide B|C)$
$= 1/6 + 0 + 1/3$

$P(moderatorul deschide B) =$
$P(A) * P(moderatorul deschide B | A) +$
$P(B) * P(moderatorul deschide B | B) +$
$P(C) * P(moderatorul deschide B | C)$
$= 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2$

$P(A|moderatorul deschide B) = P(A) * P(moderatorul deschide B|A) / P(moderatorul deschide B)$

$P(A | moderatorul deschide B) = P(A) * P(moderatorul deschide B | A) / P(moderatorul deschide B)$

$= (1/6) / (1/2) = 1/3$

$P(C|moderatorul deschide B) = P(C) * P(moderatorul deschide B|C) /P(moderatorul deschide B)$

$P(C | moderatorul deschide B) = P(C) * P(moderatorul deschide B | C) / P(moderatorul deschide B)$

$= (1/3) / (1/2) = 2/3$

Deci, probabilitate ca in spatele usii C sa se afle o masina este {$2/3$}.
 
h2. Putina istorie...

Deci, probabilitatea ca in spatele usii $C$ sa se afle o masina este {$2/3$}.

Problema a fost publicata mai intai de Martin Gardener in octombrie $1959$ si se referea la $3$ detinuti dintre care unul, ales aleator, va fi eliberat. Sa numim cei trei prizonieri {$A, B, C$}. $A$ ii cere gardianului sa-i spuna care dintre colgii lui *NU* va fi eliberat. Desigur, asta nu inseamna ca sansele lui de a fi eliberat cresc (ele fiind tot {$1/3$}) in timp ce sansele celui de-al treilea condamnat (cel nenominalizat) cresc la {$2/3$}.

h2(#istorie). Putina istorie...

Marlyn Vos Savant's, considerata omul cu cel mai ridicat IQ pana in momentul de fata, a publicat aceasta problema, in prima forma din acest articol in anul $1990$ in rubrica sa din Parade Magazine. Solutia ei (cel de-al doilea argument) a fost contestata in numeroase randuri (a primit peste $10000$ de scrisori care sustineau ca demonstratia este eronata) si a aparut pe prima pagina in {@21 iulie 1991@} in New York Times ( "Her answer... has been debated in the halls of the C.I.A. and the barracks of fighter pilots in the Persian Gulf. It has been analyzed by mathematicians at M.I.T. and computer programmers at Los Alamos National Laboratory in New Mexico. It has been tested in classes ranging from second grade to graduate level at more than 1000 schools across the country." ).

Problema a fost publicata mai intai de Martin Gardener in octombrie $1959$ si se referea la $3$ detinuti dintre care unul, ales aleator, va fi eliberat. Sa numim cei trei prizonieri {$A, B, C$}. $A$ ii cere gardianului sa-i spuna care dintre colegii lui NU va fi eliberat. Desigur, asta nu inseamna ca sansele lui de a fi eliberat cresc (ele fiind tot {$1/3$}) in timp ce sansele celui de-al treilea condamnat (cel nenominalizat) cresc la {$2/3$}.
Marilyn Vos Savant's, considerata omul cu cel mai ridicat IQ pana in momentul de fata, a publicat aceasta problema, in prima forma din acest articol in anul $1990$ in rubrica sa din Parade Magazine. Solutia ei (cel de-al doilea argument) a fost contestata in numeroase randuri (a primit peste $10000$ de scrisori care sustineau ca demonstratia este eronata) si a aparut pe prima pagina in {@21 iulie 1991@} in New York Times ("Her answer... has been debated in the halls of the C.I.A. and the barracks of fighter pilots in the Persian Gulf. It has been analyzed by mathematicians at M.I.T. and computer programmers at Los Alamos National Laboratory in New Mexico. It has been tested in classes ranging from second grade to graduate level at more than 1000 schools across the country.").

3683