_Teorema_: Fie $N$ gramezi. Prima gramada are {$x{~1~}$} pietre, cea de a doua {$x{~2~}$}, si asa mai departe, pana la ultima care are {$x{~N~}$} pietre. O astfel de pozitie este pierzatoare in jocul de $NIM$ daca si numai daca _suma-xor_ a numerelor de pietre din gramezi este {$0$}, adica daca {$x{~1~} xor x{~2~} ... xor x{~N~} = 0$}.

Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu suma-xor egala cu $0$ (pierzatoare), oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula (castigatoare), si ca dintr-o stare castigatoare putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare de pierdere. Sa presupunem ca suntem intr-o pozitie cu suma-xor $0$ si ca luam $x$ pietre dintr-o gramada oarecare, $x$ ales aleator.

Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu suma-xor egala cu $0$ (pierzatoare), oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula (castigatoare), si ca dintr-o stare castigatoare putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare de pierdere.
 
Sa presupunem ca suntem intr-o pozitie cu suma-xor $0$ si ca selectam o gramada cu $y$ pietre. Daca notam cu $P$ suma-xor a numerelor de pietre din celelalte $N-1$ gramezi neselectate, atunci avem {$P xor y = 0$}. Dar {$a xor b = 0$} daca si numai daca {$a = b$}, deci {$P = y$}. Daca din gramada selectata eliminam $x$ pietre, {$0 < x &le; y$}, pentru a ajunge intr-o stare cu suma-xor $0$ trebuie sa avem {$P xor (y-x) = 0$}, echivalent cu {$P = y-x$}. Din {$P = y$} rezulta ca {$x = 0$}, fals. Deci oricum am efectua o mutare dintr-o stare de pierdere vom ajunge intr-o stare castigatoare.