h2(#nim). Jocul NIM

Probabil cel mai cunoscut joc impartial este jocul de {$NIM$}. In acest joc, se considera $N$ gramezi, fiecare gramada avand un numar de pietre. La fiecare pas, jucatorul aflat la mutare elimina un numar nenul de pietre (eventual toate) dintr-o singura gramada. Jucatorii muta alternativ. Castigatorul este cel care ia ultimele pietre.

Probabil cel mai cunoscut joc impartial este jocul {$NIM$}. In acest joc, se considera $N$ gramezi, fiecare gramada avand un numar de pietre. La fiecare pas, jucatorul aflat la mutare elimina un numar nenul de pietre (eventual toate) dintr-o singura gramada. Jucatorii muta alternativ. Castigatorul este cel care ia ultimele pietre.

De obicei, jocul $NIM$ se joaca cu $3$ gramezi de pietre, insa strategia de castig este aceeasi indiferent de numarul gramezilor. Pentru a determina aceasta strategie ne vom folosi de operatia _xor_ ({_exclusive or_}) si proprietatile ei. Aceasta operatie se realizeaza prin operatorul $^$ in C/C++, si prin $xor$ in Pascal. Ca operatie pe biti, ea poate fi interpretata ca adunare in baza $2$ fara transport, dupa cum reiese din tabelul urmator:

_Teorema_: Fie $N$ gramezi. Prima gramada are {$x{~1~}$} pietre, cea de a doua {$x{~2~}$}, si asa mai departe, pana la ultima care are {$x{~N~}$} pietre. O astfel de pozitie este pierzatoare in jocul de $NIM$ daca si numai daca _suma-xor_ a numerelor de pietre din gramezi este {$0$}, adica daca {$x{~1~} xor x{~2~} ... xor x{~N~} = 0$}.

Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu _suma-xor_ egala cu $0$ (pierzatoare), oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu _suma-xor_ nenula (castigatoare), si ca dintr-o stare castigatoare putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare de pierdere.

Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu suma-xor egala cu $0$ (pierzatoare), oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula (castigatoare), si ca dintr-o stare castigatoare putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare de pierdere. Sa presupunem ca suntem intr-o pozitie cu suma-xor $0$ si ca luam $x$ pietre dintr-o gramada oarecare, $x$ ales aleator.