Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu suma-xor egala cu $0$ (pierzatoare), oricum am muta, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula (castigatoare), si ca dintr-o stare castigatoare putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare de pierdere.

Sa presupunem prin reducere la absurd ca dintr-o stare cu suma-xor $0$ putem ajunge in alta stare care are suma-xor tot $0$. Selectam o gramada oarecare cu $y$ pietre si dorim sa eliminam un numar de pietre din aceasta gramada. Daca notam cu $S$ suma-xor a numerelor de pietre din celelalte $N-1$ gramezi neselectate, atunci avem {$S xor y = 0$}. Dar {$a xor b = 0$} daca si numai daca {$a = b$}, deci {$S = y$}. Daca din gramada selectata eliminam $x$ pietre, {$0 < x &le; y$}, pentru a ajunge intr-o stare tot cu suma-xor $0$ trebuie sa avem {$S xor (y-x) = 0$}, echivalent cu {$S = y-x$}. De aici si din {$S = y$} rezulta ca {$x = 0$}, fals. Deci oricum am efectua o mutare dintr-o stare de pierdere vom ajunge intr-o stare castigatoare.

Sa presupunem prin reducere la absurd ca dintr-o stare cu suma-xor $0$ putem ajunge in alta stare care are suma-xor tot $0$. Selectam o gramada oarecare cu $y$ pietre si dorim sa eliminam un numar de pietre din aceasta gramada. Daca notam cu $S$ suma-xor a numerelor de pietre din celelalte $N-1$ gramezi neselectate, atunci avem {$S xor y = 0$}. Dar {$a xor b = 0$} daca si numai daca {$a = b$}, deci {$S = y$}. Daca din gramada selectata eliminam $x$ pietre, {$0 < x &le; y$}, pentru a ajunge intr-o stare tot cu suma-xor $0$ trebuie sa avem {$S xor (y-x) = 0$}, echivalent cu {$S = y-x$}. Din {$S = y$} rezulta ca {$x = 0$}, fals. Deci oricum am efectua o mutare dintr-o stare de pierdere vom ajunge intr-o stare castigatoare.

Ramane de demonstrat ca dintr-o stare de castig putem sa aducem adversarul intr-o stare pierzatoare. Fie $S$ suma-xor a marimilor celor $N$ gramezi. Daca exista o gramada cu $y$ pietre astfel incat {$y ≥ y xor S$}, atunci putem elimina {$y - y xor S$} pietre din aceasta gramada, ramanand cu {$y - (y - y xor S) = y xor S$} pietre. Din gramada cu $y$ pietre am obtinut o gramada cu {$y xor S$} pietre, deci noua suma-xor va fi {$(... xor y) xor S = S xor S = 0$}. Trebuie sa demonstram ca exista cel putin o gramada cu proprietatea de mai sus.