Această nouă dreaptă va fi intersectată de celelalte drepte în $n$ puncte distincte. Fiecare segment de dreaptă şi semidreaptă în care este împărţită a $(n + 1)$-a dreaptă taie o regiune veche în două regiuni noi. De aici obţinem că <tex> d_{n+1} = d_{n} + n + 1 </tex>.

Aşadar, vom avea <tex> d_{n} = n + (n - 1) + (n - 2) + \ldots + 2 + d_{1} </tex>. Astfel, folosind indentitatea <tex> 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} </tex>, obţinem <tex> d_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 </tex>.

Aşadar, vom avea <tex> d_{n} = n + (n - 1) + (n - 2) + \ldots + 2 + d_{1} </tex>. Astfel, folosind identitatea <tex> 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} </tex>, obţinem <tex> d_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 </tex>.

Menţionăm că problemele în care se cere maximizarea numărului de regiuni în care un pătrat, un triunghi sau un cerc este împărţit de $n$ drepte, au aceeaşi soluţie.