h2(#aplicatia-6). Aplicaţia #6
bq. Pentru $n$ plane determinaţi numărul maxim de zone în care poate fi împărţit spaţiul cu acestea.
bq. Pentru $n$ plane determinaţi numărul maxim de zone în care poate fi împărţit spaţiul folosind aceste plane.
h3. Rezolvare
În această problemă urmăm raţionamentul de până acum. Este evident că trebuie ca fiecare plan să se intersecteze cu fiecare, că oricare trei plane trebuie să nu se intersecteze într-o dreaptă, oricare trei plane nu trebuie să fie paralele cu o dreaptă şi oricare patru plane nu trebuie să se intersecteze într-un punct. Notăm $p(n)$ numărul maxim de zone în care $n$ plane împart spaţiul. Când adăugăm un nou plan acesta va fi intersectat de celelalte plane în $n$ drepte, drepte care după restrictiile care le-am pus nu vor fi două paralele sau trei care să se intersecteze într-un punct. Acest plan va fi împărţit în $d(n)$ regiuni de aceste drepte din cauza restricţiilor impuse. Fiecare regiune din plan taie o zonă din spaţiu în două noi zone, de unde $p(n+1) = d(n) + p(n)$ . Astfel avem $p(n) = n(n-1)/2 + 1 + (n-1)(n-2)/2 + 1 + ... + 2*1/2 + 1 + p(1) = [n^2^ - n + (n-1)^2^ - (n-1) + ... + 2^2^ - 2 + 1 - 1 + (n-1)]/2 + 2 = [n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)/2 + (n-1)]/2 + 2 = (n^3^/3 + n^2^/2 + n/6 - n^2^/2 - n/2)/2 + n + 1 = n^3^/ 6 + 5n/6 + 1$. Am folosit identităţile $1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2$ şi $1 + 2^2^ + 3^2^ + ... + n^2^ = n(n+1)(2n+1)/6$, identităţi care se pot demonstra uşor prin inducţie.
Şi în această problemă urmăm acelaşi raţionament. Este evident că trebuie ca fiecare plan să se intersecteze cu toate celelalte, că oricare trei plane trebuie să nu aibă nicio dreaptă comună, că oricare trei plane nu trebuie să fie paralele cu nicio dreaptă şi oricare patru plane nu trebuie să aibă niciun punct comun.
Menţionăm că dacă vrem să împărţim un cub, un cilindru o sfera, etc, în număr maxim de regiuni folosind $n$ plane, formula se păstrează.
Notăm <tex> p_{n} </tex> numărul maxim de zone în care $n$ plane împart spaţiul. Dacă adăugăm un nou plan, acesta va fi intersectat de celelalte plane în $n$ drepte, drepte printre care, datorită restrictiilor pe care le-am pus, nu vom avea două paralele sau trei care să se intersecteze într-un punct.
Acest plan va fi împărţit în <tex> d_{n} </tex> regiuni de aceste drepte datorită restricţiilor impuse. Fiecare regiune din plan taie o zonă din spaţiu în două noi zone, de unde <tex> p_{n+1} = d_{n} + p_{n} </tex>.
Astfel avem:
<tex> p_{n} = \dfrac{n(n-1)}{2} + 1 + \dfrac{(n-1)(n-2)}{2} + 1 + \ldots + \dfrac{2*1}{2} + 1 + p_{1} </tex>
<tex> p_{n} = \dfrac{n^2 - n + (n-1)^2 - (n-1) + \ldots + 2^2 - 2 + 1 - 1 + (n-1)}{2} + 2 </tex>
<tex> p_{n} = \dfrac{ \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \dfrac{n(n+1)}{2} + (n-1)}{2} + 2 </tex>
<tex> p_{n} = \dfrac{ \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6} - \dfrac{n^2}{2} - \dfrac{n}{2} }{2} + n + 1 </tex>
<tex> p_{n} = \dfrac{n^3}{6} + \dfrac{5n}{6} + 1 </tex>.
Am folosit identităţile <tex> 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} </tex> şi <tex> 1 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} </tex>, identităţi care se pot demonstra uşor prin inducţie.
Menţionăm că dacă vrem să împărţim un cub, un cilindru, o sfera etc. în număr maxim de regiuni folosind $n$ plane, formula se păstrează.
h2(#aplicatia-7). Aplicaţia 7 (Bursele Agora, 2001)
