Dacă aceste două condiţii sunt îndeplinite vom vedea în continuare că orice configuraţie de N drepte împarte planul în acelaţi număr de regiuni. Notăm cu d(n) acest număr. Presupunem ca ştim pe d(n), să vedem acum ce se întâmplă dacă mai adaugăm o dreaptă.
Această nouă dreaptă va fi intersectată de celelalte drepte în n puncte distincte. Fiecare segment de dreaptă şi semidreaptă în care este împărţită a n+1-a taie o regiune veche in două regiuni noi. De aici tragem concluzia că d(n+1) = d(n) + n + 1. Deci d(n) = n + n – 1 + n – 2 + … + 2 + d(1). Astfel folosind indentitatea 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 obţinem d(n) = n(n + 1) / 2 + 1.
Menţionăm că problemele în care se cere maximizarea numărului de regiuni în care un pătrat, un triunghi sau un cerc este împărţit de n drepte, au aceiaşi soluţie.

!probleme-de-taietura?poza-2.bmp!

 
p=.!probleme-de-taietura?poza-2.bmp!

h2(#problema-2). Problema 2:
Dându-se un număr natural N, se cere numărul maxim de regiuni în care N cercuri pot împărţi planul.

!probleme-de-taietura?poza-4.bmp!

 
p=.!probleme-de-taietura?poza-4.bmp!

h3. Rezolvare:
Este clar că oricare două cercuri trebuie să se intersecteze in exact două puncte, nu să fie tangente sau să nu se intersecteze deloc pentru că astfel am pierde o regiune, iar oricare trei cercuri nu se intersectează într-un punct.
Orice configuraţie care satisface această cerinţă va împărţi planul într-un număr maxim de regiuni.Vom nota cu c(n) numărul maxim de regiuni în care este împărţit planul de n cercuri. Să vedem ce se întîmplă când adăugăm un nou cerc la această configuraţie. Cercul nou va fi intersectat de cele n cercuri în 2n puncte distincte, şi astfel va fi împărţit în 2n arce. Fiecare dintre aceste arce împarte o zonă veche în două zone noi. De aici tragem concluzia că c(n + 1) = 2n + c(n). Astfel putem să îl scriem pe c(n) ca 2(n – 1) + 2(n – 2) + … + 2 + c(1). De aici folosind din nou identitatea 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 avem că c(n) = n(n-1) + 2.
Este evident că şi problema în care se cere maximizarea numărului de regiuni în care este împărţită suprafaţa unei sfere de n cercuri are aceiaşi soluţie.

!probleme-de-taietura?poza-5.bmp!

 
p=.!probleme-de-taietura?poza-5.bmp!

h2(#problema-3). Problema 3:

Avem un număr natural N, vrem să determinăm numărul maxim de regiuni în care poate fi împărţit un plan de elipse.

!probleme-de-taietura?poza-6.bmp!

p=.!probleme-de-taietura?poza-6.bmp!

h3. Rezolvare:
La fel ca şi la cercuri nici aici nu trebuie să avem elipse tangente, sau elipse care să nu se intersecteze, nu vor exista nici aici trei elipse care să se intersecteze într-un punct, aici elipsele trebuie să se intersecteze în patru puncte, dacă s-ar intersecta numai în două puncte atunci configuraţia nu ar avea număr maxim de regiuni.
Notăm cu e(n) numărul de care suntem interesaţi. Câte regiuni noi apar cand adăugam o nouă elipsă? Păi o nouă elipsă va fi intersectată de celelalte elipse ăn patru puncte de fiecare, deci e(n + 1) = 4n + e(n). De aici tragem concluzia că e(n) = 2 n(n - 1) + 2.

!probleme-de-taietura?poza-7.bmp!

p=.!probleme-de-taietura?poza-7.bmp!

h2(#problema-5). Problema 5:

h3. Rezolvare:
Repetând raţionamentul de la problemele anterioareavem că t(n+1) = 6n + t(n) => t(n) = 3n(n-1) + 2.

!probleme-de-taietura?poza-9.bmp!

 
p=.!probleme-de-taietura?poza-9.bmp!

h2(#problema-6). Problema 6:

h2(#problema-10). Problema 10:

!probleme-de-taietura?poza-10.bmp!

p=.!probleme-de-taietura?poza-10.bmp!

Avem un tort în formă de pătrat de dimensiune 1000 x 1000. Folosim un cuţit pentru a tăoa tortul. Întrebarea este după o serie de tăieturi, în căte bucăţi am patriţionat tortul. Restricţii: Numărul de tăieturi nu va fi mai mare de 8. După tăieturi, lungimea oricărei laturi a partiţiei nu va fi mai mică decât unu. Coordonatele vârfurilor tortului vor fi (0,0)(0,1000)(1000,1000) (1000,0). Tăieturile se vor intersecta în două puncte cu marginile tortului. Următoarea imagine e un tort tăiat în zece bucăţi.
[acm.uva.es 527 The partition of a cake]

h2(#problema-11). Problema 11:

!probleme-de-taietura?poza-12.bmp!

p=.!probleme-de-taietura?poza-12.bmp!

Se dă un graf planar prin noduri şi muchii, un graf este planar dacă există o modalitate de a îl desena în plan făra ca muchiile să se intersecteze decăt la capete. Se cere să se determine în căte regiuni împarte planul graful dat la intrare. Mai jos avem un exemplu de graf în care feţele sunt numerotate.
[10178 Count the faces [4]]

h2(#problema-12). Problema 12:

!probleme-de-taietura?poza-13.bmp!

p=.!probleme-de-taietura?poza-13.bmp!

Se considera N cercuri in plan. Se cere să se determine numărul de zone finite în care cercurile date împart planul.