Dându-se un număr natural N, să se determine numărul maxim de zone în care pot împărţi spaţiul N sfere.
[Bursele Agora 2001[3]]

h3. Rezolvare:
Pornim la fel ca la problema anterioară, oricare două sfere se vor intersecta şi nu vor exista trei sfere care să se intersecteze în acelaşi punct. Vom nota cu s(n) numărul maxim de regiuni în care poate fi împărţit spaţiul cu n sfere. Să vedem ce se întâmplă când adăugăm o sferă. Această sferă va fi intersectată de toate celelalte n sfere în n cercuri, pentru ca numărul de regiuni noi să fie maxim aceste cercuri vor împărţi sfera într-un număr maxim de regiuni, acest număr este c(n) aşa cum am discutat la problema 2. Obţinem astfel s(n + 1) = c(n) + s(n) = c(n) + c(n-1) + ... + c(1) = n(n-1) + 2 + (n-1)(n-2) + 2 + ... + 2 = 1 + 2^2 + .. + n^2 – 1 – 2 – 3 - .... – n + 2n => s(n) = n(n^2 – 3n + 8) / 3

Se dă un număr N care este numărul maxim în care poate fi împărţit planul de m elipse, n cercuri şi p triunghiuri. Se cere ştiind N să se determine toate valorile posibile pentru m, n şi p. (N întreg făra semn reprezentabil pe 32 de biţi, 0<=m<100, 0<=n<20000 şi 0<=p<100)
[10623 Thinking Backward [4]]

h3. Rezolvare:
Dacă am ştii pentru trei parametrii m, n şi p care este numarul maxim de părţi în care poate fi împărţit planul  de m elipse, n cercuri şi p triunghiuri, atunci am putea incerca toate posibilitaţile pentru m, n şi p şi am găsi tripletele pentru rezultatul ar fie gal cu N, chiar am putea optimiza puţin acest algoritm iteram pe toate valorile de m şi p, astfel vom obţine o ecuaţie cu necunoscuta n astfel vom face doar 10000 de rezolvări de ecuaţii în loc de 200 000 000 de comparaţii.

Avem un tort în formă de pătrat de dimensiune 1000 x 1000. Folosim un cuţit pentru a tăoa tortul. Întrebarea este după o serie de tăieturi, în căte bucăţi am patriţionat tortul. Restricţii: Numărul de tăieturi nu va fi mai mare de 8. După tăieturi, lungimea oricărei laturi a partiţiei nu va fi mai mică decât unu. Coordonatele vârfurilor tortului vor fi (0,0)(0,1000)(1000,1000) (1000,0). Tăieturile se vor intersecta în două puncte cu marginile tortului. Următoarea imagine e un tort tăiat în zece bucăţi.
[acm.uva.es 527 The partition of a cake]

 
h3. Rezolvarea:
 
Este analoaga cu cea a problemei anterioare, datele sunt foarte mici în problema aceasta, probabil că autorii au vrut să facă problema accesibilă şi altor idei care folosesc împărţiri efective în poligoane a pătratului.

Rezolvarea este analoaga cu cea a problemei anterioare, datele sunt foarte mici în problema aceasta, probabil că autorii au vrut să facă problema accesibilă şi altor idei care folosesc împărţiri efective în poligoane a pătratului.

h2(#11). Problema 11: