Dacă aceste două condiţii sunt îndeplinite vom vedea în continuare că orice configuraţie de N drepte împarte planul în acelaţi număr de regiuni. Notăm cu d(n) acest număr. Presupunem ca ştim pe d(n), să vedem acum ce se întâmplă dacă mai adaugăm o dreaptă.
Această nouă dreaptă va fi intersectată de celelalte drepte în n puncte distincte. Fiecare segment de dreaptă şi semidreaptă în care este împărţită a n+1-a taie o regiune veche in două regiuni noi. De aici tragem concluzia că d(n+1) = d(n) + n + 1. Deci d(n) = n + n – 1 + n – 2 + … + 2 + d(1). Astfel folosind indentitatea 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 obţinem d(n) = n(n + 1) / 2 + 1.
Menţionăm că problemele în care se cere maximizarea numărului de regiuni în care un pătrat, un triunghi sau un cerc este împărţit de n drepte, au aceiaşi soluţie.

!probleme-de-taietura?aa.bmp!

!probleme-de-taietura?a.bmp!

h2(#2). Problema 2: