Dându-se un număr natural N, se cere numărul maxim de regiuni în care N cercuri pot împărţi planul.
!probleme-de-taietura?aaaaa.bmp!

Rezolvare:
Este clar că oricare două cercuri trebuie să se intersecteze in exact două puncte, nu să fie tangente sau să nu se intersecteze deloc pentru că astfel am pierde o regiune, iar oricare trei cercuri nu se intersectează într-un punct.
Orice configuraţie care satisface această cerinţă va împărţi planul într-un număr maxim de regiuni.Vom nota cu c(n) numărul maxim de regiuni în care este împărţit planul de n cercuri. Să vedem ce se întîmplă când adăugăm un nou cerc la această configuraţie. Cercul nou va fi intersectat de cele n cercuri în 2n puncte distincte, şi astfel va fi împărţit în 2n arce. Fiecare dintre aceste arce împarte o zonă veche în două zone noi. De aici tragem concluzia că c(n + 1) = 2n + c(n). Astfel putem să îl scriem pe c(n) ca 2(n – 1) + 2(n – 2) + … + 2 + c(1). De aici folosind din nou identitatea 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 avem că c(n) = n(n-1) + 2.
Este evident că şi problema în care se cere maximizarea numărului de regiuni în care este împărţită suprafaţa unei sfere de n cercuri are aceiaşi soluţie.

!probleme-de-taietura?aaaaaa.bmp!

h2(#3). Problema 3:
Se dau n cercuri care se intersectează oricare două în două puncte şi nu există trei care se intersectează într-un punct, se cere să se determine numărul de zone în care este împarţit planul de aceste n cercuri. ( n <= 10^100)
[acm.uva.es 10519 !! Really Strange !!]

Rezolvare:
Observăm ca sunt indeplinite condiţiile de maximalitate cerute mai sus, deci rezultatul e c(n), singura problema ce rămâne este aceea de implementare a operaţiilor cu numere mari.
h2(#4). Problema 4:
Avem un număr natural N, vrem să determinăm numărul maxim de regiuni în care poate fi împărţit un plan de elipse.

 
!probleme-de-taietura?aaaaaaa.bmp!

Rezolvare:
La fel ca şi la cercuri nici aici nu trebuie să avem elipse tangente, sau elipse care să nu se intersecteze, nu vor exista nici aici trei elipse care să se intersecteze într-un punct, aici elipsele trebuie să se intersecteze în patru puncte, dacă s-ar intersecta numai în două puncte atunci configuraţia nu ar avea număr maxim de regiuni.
Notăm cu e(n) numărul de care suntem interesaţi. Câte regiuni noi apar cand adăugam o nouă elipsă? Păi o nouă elipsă va fi intersectată de celelalte elipse ăn patru puncte de fiecare, deci e(n + 1) = 4n + e(n). De aici tragem concluzia că e(n) = 2 n(n - 1) + 2.