bq. Să se determine numărul de puncte de coordonate întregi prin care trece segmentul determinat de punctele $(0, 0)$ şi $(M, N)$. De exemplu, pentru $M=9$ şi $N=12$ pe segment vor fi $4$ puncte de coordonate întregi.

!probleme-cu-puncte-laticiale?img1.JPG!
 

h3. Rezolvare
Putem considera doar cazurile în care $0 ≤ N ≤ M$, dacă $N = 0$ atunci evident avem $M+1$ puncte pe segment. Astfel trebuie să rezolvăm doar cazul în care $1 ≤ N ≤ M$.

bq. Se dă un triunghi cu vârfurile de coordonate întregi. Se cere să se determine numărul de puncte de coordonate întregi ce se află în interiorul triunghiului sau pe laturile lui. De exemplu un triunghi cu vârfurile de coordonate $(1, 5)$, $(5, 1)$ şi $(6, 6)$ are $16$ puncte în interior.

!probleme-cu-puncte-laticiale?img2.JPG!
 

h3. Rezolvare
Pentru un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate de lungime $M$ şi lăţime $N$ avem că  numărul de puncte situate strict în interiorul dreptunghiului este $(M–1)×(N–1)$, iar numărul de puncte situate pe laturile poligonului este $2M + 2N$. Dacă notăm cu $B$ numărul de puncte de pe laturi, cu $I$ numărul de puncte situate strict în interiorul unui dreptunghi şi cu $A$ aria dreptunghiului, observăm că $I+B/2–1 = (M–1)×(N–1)+M+N–1 = M×N = A$.