== include(page="template/taskheader" task_id="lca") ==
Se dă un arbore cu $N$ noduri, având rădăcina in nodul $1$. Să se răspundă la $M$ întrebări de forma: "Care este cel mai apropiat strămoş comun al nodurilor $x$ şi $y$.
Se dă un 'arbore':http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_%28graph_theory%29 cu rădăcină $T$. 'Cel mai apropiat strămoş comun':http://en.wikipedia.org/wiki/Lowest_common_ancestor a două noduri $u$ şi $v$ este nodul $w$ care este strămoş al ambelor noduri $u$ şi $v$ şi are cea mai mare adâncime în $T$.
Considerăm că arborele $T$ are $n$ noduri şi are rădăcina în nodul $1$. Dându-se o mulţime arbitrară $P = {{u,v}}$, cu $m$ perechi neordonate de noduri din $T$, se cere să se determine cel mai apropiat strămoş al fiecărei perechi din $P$.
h2. Date de intrare
Pe prima linie a fişierului de intrare $lca.in$ se află $N$ şi $M$. Pe următoarea linie se află $N - 1$ numere naturale, cel de-al $i$-lea număr reprezentând tată nodului $i + 1$ (nodul $1$ fiind rădăcină nu are tată). Pe următoarele $M$ linii se află câte 2 numere naturale, reprezentând numerele de ordine ale nodurilor care definesc întrebările.
Pe prima linie a fişierului de intrare $lca.in$ se găsesc $n$ şi $m$. Următoarea linie conţine $n-1$ numere naturale, cel de-al $i$-lea număr reprezentând tatăl nodului $i+1$ (nodul $1$ fiind rădăcină nu are tată). Pe următoarele $m$ linii se află câte o pereche de numere naturale, reprezentând elementele mulţimii $P$.
h2. Date de ieşire
Fişierul de ieşire $lca.out$ va conţine $M$ linii, linia $i$ conţinând răspunsul la întrebarea $i$.
Fişierul de ieşire $lca.out$ va conţine $m$ linii, linia a $i$-a conţinând răspunsul celei de a $i$-a întrebări.
h2. Restricţii
* $1 ≤ N ≤ 100.000$
* $1 ≤ M ≤ 2.000.000$
* Pentru $20%$ din teste $1 ≤ N, M ≤ 1.000$
* $1 ≤ n ≤ 100 000$
* $1 ≤ m ≤ 2 000 000$
h2. Exemplu
2
|
!> problema/lca?arbore.gif 50%!
h3. Explicaţie
!problema/lca?arbore.gif 80%!
Arborele din exemplu arată ca în figura alăturată...
h2. Indicaţii de rezolvare
O primă 'soluţie':job_detail/368458?action=view-source, care caută LCA-ul celor două noduri mergând "în sus" pe ramurile nodurilor până când acestea se intersectează, având complexitatea de <tex>O(N*M)</tex>, ar trebui să obţină $30$ puncte.
O primă soluţie, care caută între toate nodurile arborelui şi îl reţine pe cel care strămoş al ambelor noduri din întrebare, având complexitatea fi nală <tex>O(N*M)</tex> ar trebui să obţină $20$ puncte şi se găseşte 'aici':...
O altă 'soluţie':job_detail/368625?action=view-source descrisă în 'acest articol':multe-smenuri-de-programare-in-cc-si-nu-numai, având complexitatea finală de <tex>O(N + M\sqrt{N})</tex>, ar trebui să obţină 60 puncte. Deşi nu este cea mai eficientă, avantajul acestei soluţii constă în faptul că se implementează foarte repede.
O altă soluţie descrisă în 'acest articol':multe-smenuri-de-programare-in-cc-si-nu-numai având complexitatea finală de <tex>O(N + M\sqrt{N})</tex> ar trebui să obţină ... puncte. 'Aici':... se găseşte o sursă care se bazează pe această idee.
O altă soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema 'Strămoşi':problema/stramosi. Se reţine pentru fiecare nod strămoşul cu <tex>2^{k}</tex> nivele mai sus, unde $k$ ia valori între <tex>1</tex> şi <tex>log_{2}N</tex>. Astfel, pentru fiecare query, se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celălalt în timp logaritmic, după care, tot în timp logaritmic, se poate afla $LCA$-ul celor două noduri. Complexitatea finală este deci <tex>O(Nlog_{2}N + Mlog_{2}N)</tex>. Această 'soluţie':job_detail/369283?action=view-source ar trebui să obţină $70$ puncte.
O soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema 'Strămoşi':problema/stramosi. Se reţine pentru fiecare nod, strămoşul cu <tex>2^{k}</tex> nivele mai sus, unde $k$ ia valori între <tex>1</tex> şi <tex>log_{2}N</tex>. Astfel, pentru fiecare query, la început se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celalt, iar apoi, se poate afla în timp logaritmic $LCA$-ul celor două noduri. Complexitatea finală este <tex>O(Nlog_{2}N + Mlog_{2}N)</tex>Această soluţie ar trebui să obţină ... puncte, iar sursa care se bazează pe această idee este 'aceasta':...
O 'soluţie':job_detail/369478?action=view-source ce se foloseşte de 'algoritmul lui Tarjan':http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_least_common_ancestors_algorithm care rezolvă query-urile offline, bazându-se pe structura de date 'mulţimi disjuncte':problema/disjoint. Aceasta are complexitatea de <tex>O(Nlog*N + M)</tex> şi ar trebui să obţină $70$ de puncte din cauza numărului mare de query-uri. Asemenea metodei cu RMQ prezentată mai jos, şi această metodă foloseşte o cantitate mai mare de memorie, <tex>O(M)</tex> care în anumite condiţii nu se încadrează limitei de memorie. Un alt dezavantaj în anumite cazuri este faptul că query-urile nu se parcurg în ordine, ci se rezolvă offline, adică este necesară cunoaşterea lor în prealabil.
Soluţia care ar trebui să obţină 100 de puncte se bazează pe următoarea observaţie: $LCA$-ul a $2$ noduri este nodul de nivel minim dintre primele apariţii ale nodurilor din întrebare din reprezentarea Euler a arborelui. în cazul de faţă, reprezentarea Euler a arborelui este următoarea, iar pe următorul rând sunt nivelurile nodurilor:
Soluţia care ar trebui să obţină $100$ de puncte se bazează pe următoarea observaţie: „Cel mai apropiat strămoş comun a $2$ noduri este nodul de nivel minim dintre primele apariţii ale nodurilor din query din 'reprezentarea Euler a arborelui':lowest-common-ancestor.” În cazul de faţă, reprezentarea Euler a arborelui este următoarea, pe următorul rând găsindu-se nivelurile nodurilor:
table{width:700px; text-align:center;}.
|_. $reprezentarea Euler$| $1$ | $2$ | $4$ | $7$ | $4$ | $8$ | $4$ | $2$ | $5$ | $2$ | $6$ | $9$ | $6$ | $2$ | $1$ | $3$ | $10$ | $3$ | $11$ | $3$ | $1$ |
|_. $nivelul$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ |
|_. $Reprezentarea Euler$| $1$ | $2$ | $4$ | $7$ | $4$ | $8$ | $4$ | $2$ | $5$ | $2$ | $6$ | $9$ | $6$ | $2$ | $1$ | $3$ | $10$ | $3$ | $11$ | $3$ | $1$ |
|_. $Nivelul$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ |
Pentru exemplificare, nodurile $8$ şi $9$ au cel mai apropiat strămoş comun nodul cu nivel minim din secvenţa $8 4 2 5 2 6 9$, adică nodul $2$, care are nivelul $1$. Pentru a implementa această soluţie, putem folosi 'arbori de intervale':problema/arbint, având complexitatea <tex>O(N + Mlog_{2}N)</tex>, 'soluţie':job_detail/368434?action=view-source care ar trebui să obţină $70$ de puncte. Mai eficient, ţinând cont de restricţiile problemei, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi 'RMQ':problema/rmq. Astfel, complexitatea finală va fi <tex>O(Nlog_{2}N + M)</tex>, această 'soluţie':job_detail/368469?action=view-source obţinând $100$ de puncte. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că se foloseşte <tex>O(Nlog_{2}N)</tex> memorie, ceea ce poate fi un impediment în anumite cazuri.
Un articol ce explică foarte bine atât RMQ, cât şi LCA se găseşte pe 'TopCoder':https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/range-minimum-query-and-lowest-common-ancestor/.
h2. Aplicaţii
De exemplu, pentru nodurile $8$ şi $9$, răspunsul este nodul cu nivel minim din secvenţa $8 4 2 5 2 6 9$, mai exact nodul 2, care are nivelul $1$.
Pentru a implementa această soluţie, se folososesc arbori de intervale, având complexitatea <tex>O(N + Mlog_{2}N)</tex>, soluţie care ar trebui sa obţină ... de puncte, sursa care se bazează pe acest principiu fiind 'aceasta':....
Mai eficient, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi 'RMQ':problema/rmq. Astfel, complexitatea finală va fi <tex>O(Nlog_{2}N + M)</tex>, aceasta soluţie obţinând $100$ de puncte, sursa care se bazează pe această idee se găseşte 'aici':...
* 'CT':problema/ct
* 'Atac':problema/atac
* 'Pirati':problema/pirati
* 'Concurs':problema/concurs
* 'Delay':problema/delay
* 'Radiatie':problema/radiatie
* 'Ratina':problema/ratina
* 'Query on a tree I':https://www.spoj.pl/problems/QTREE/, spoj
* 'Query on a tree II':https://www.spoj.pl/problems/QTREE2/, spoj
== include(page="template/taskfooter" task_id="lca") ==
