2
|

!> problema/lca?arbore.gif 50%!
 

h3. Explicaţie

Arborele din exemplu arată astfel:

Arborele din exemplu arată ca în figura alăturată...

!< problema/lca?arbore.gif 70%!

h2. Indicaţii de rezolvare

O primă 'soluţie':job_detail/368458?action=view-source, care caută LCA-ul celor două noduri mergând "în sus" pe ramurile nodurilor până când acestea se intersectează, având complexitatea de <tex>O(N*M)</tex>, ar trebui să obţină $30$ puncte.

O altă soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema 'Strămoşi':problema/stramosi. Se reţine pentru fiecare nod strămoşul cu <tex>2^{k}</tex> nivele mai sus, unde $k$ ia valori între <tex>1</tex> şi <tex>log_{2}N</tex>. Astfel, pentru fiecare query, se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celălalt în timp logaritmic, după care, tot în timp logaritmic, se poate afla $LCA$-ul celor două noduri. Complexitatea finală este deci <tex>O(Nlog_{2}N + Mlog_{2}N)</tex>. Această 'soluţie':job_detail/369283?action=view-source ar trebui să obţină $70$ puncte.

O 'soluţie':job_detail/368822?action=view-source ce se foloseşte de 'algoritmul lui Tarjan':http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_least_common_ancestors_algorithm care rezolvă query-urile offline, bazându-se pe structura de date 'mulţimi disjuncte':problema/disjoint. Aceasta are complexitatea de <tex>O(Nlog*N + M)</tex> şi ar trebui să obţină $70$ de puncte din cauza numărului mare de query-uri. Asemenea metodei cu RMQ prezentată mai jos, şi această metodă foloseşte o cantitate mai mare de memorie, <tex>O(M)</tex> care în anumite condiţii nu se încadrează limitei de memorie. Un alt dezavantaj în anumite cazuri este faptul că query-urile nu se parcurg în ordine, ci se rezolvă offline, adică este necesară cunoaşterea lor în prealabil.

O 'soluţie':job_detail/369478?action=view-source ce se foloseşte de 'algoritmul lui Tarjan':http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_least_common_ancestors_algorithm care rezolvă query-urile offline, bazându-se pe structura de date 'mulţimi disjuncte':problema/disjoint. Aceasta are complexitatea de <tex>O(Nlog*N + M)</tex> şi ar trebui să obţină $70$ de puncte din cauza numărului mare de query-uri. Asemenea metodei cu RMQ prezentată mai jos, şi această metodă foloseşte o cantitate mai mare de memorie, <tex>O(M)</tex> care în anumite condiţii nu se încadrează limitei de memorie. Un alt dezavantaj în anumite cazuri este faptul că query-urile nu se parcurg în ordine, ci se rezolvă offline, adică este necesară cunoaşterea lor în prealabil.

Soluţia care ar trebui să obţină $100$ de puncte se bazează pe următoarea observaţie: „Cel mai apropiat strămoş comun a $2$ noduri este nodul de nivel minim dintre primele apariţii ale nodurilor din query din 'reprezentarea Euler a arborelui':lowest-common-ancestor.” În cazul de faţă, reprezentarea Euler a arborelui este următoarea, pe următorul rând găsindu-se nivelurile nodurilor:

Pentru exemplificare, nodurile $8$ şi $9$ au cel mai apropiat strămoş comun nodul cu nivel minim din secvenţa $8 4 2 5 2 6 9$, adică nodul $2$, care are nivelul $1$. Pentru a implementa această soluţie, putem folosi 'arbori de intervale':problema/arbint, având complexitatea <tex>O(N + Mlog_{2}N)</tex>, 'soluţie':job_detail/368434?action=view-source care ar trebui să obţină $70$ de puncte. Mai eficient, ţinând cont de restricţiile problemei, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi 'RMQ':problema/rmq. Astfel, complexitatea finală va fi <tex>O(Nlog_{2}N + M)</tex>, această 'soluţie':job_detail/368469?action=view-source obţinând $100$ de puncte. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că se foloseşte <tex>O(Nlog_{2}N)</tex> memorie, ceea ce poate fi un impediment în anumite cazuri.

Un articol ce explică foarte bine atât RMQ, cât şi LCA se găseşte pe 'TopCoder':http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lowestCommonAncestor.

Un articol ce explică foarte bine atât RMQ, cât şi LCA se găseşte pe 'TopCoder':https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/range-minimum-query-and-lowest-common-ancestor/.

h3. Aplicaţii

h2. Aplicaţii

* 'CT':problema/ct
* 'Atac':problema/atac

* 'Pirati':problema/pirati

* 'Concurs':problema/concurs

* 'Query on a tree I':https://www.spoj.pl/problems/QTREE/
* 'Query on a tree II':https://www.spoj.pl/problems/QTREE2/

* 'Delay':problema/delay
* 'Radiatie':problema/radiatie
* 'Ratina':problema/ratina
* 'Query on a tree I':https://www.spoj.pl/problems/QTREE/, spoj
* 'Query on a tree II':https://www.spoj.pl/problems/QTREE2/, spoj

== include(page="template/taskfooter" task_id="lca") ==