!< problema/lca?arbore.gif 70%!

O primă soluţie, care caută LCA-ul celor două noduri mergând "în sus" pe ramurile nodurilor până când acestea se intersectează, având complexitatea de <tex>O(N*M)</tex>, ar trebui să obţină $30$ puncte şi se găseşte 'aici':job_detail/368458?action=view-source.

O primă 'soluţie':job_detail/368458?action=view-source, care caută LCA-ul celor două noduri mergând "în sus" pe ramurile nodurilor până când acestea se intersectează, având complexitatea de <tex>O(N*M)</tex>, ar trebui să obţină $30$ puncte.

O altă soluţie descrisă în 'acest articol':multe-smenuri-de-programare-in-cc-si-nu-numai, având complexitatea finală de <tex>O(N + M\sqrt{N})</tex>, ar trebui să obţină 60 puncte. 'Aici':job_detail/368625?action=view-source se găseşte o sursă care se bazează pe această idee. Deşi nu este cea mai eficientă, avantajul acestei soluţii constă în faptul că se implementează foarte repede.

O altă 'soluţie':job_detail/368625?action=view-source descrisă în 'acest articol':multe-smenuri-de-programare-in-cc-si-nu-numai, având complexitatea finală de <tex>O(N + M\sqrt{N})</tex>, ar trebui să obţină 60 puncte. Deşi nu este cea mai eficientă, avantajul acestei soluţii constă în faptul că se implementează foarte repede.

O altă soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema 'Strămoşi':problema/stramosi. Se reţine pentru fiecare nod strămoşul cu <tex>2^{k}</tex> nivele mai sus, unde $k$ ia valori între <tex>1</tex> şi <tex>log_{2}N</tex>. Astfel, pentru fiecare query, se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celălalt, după care se poate afla în timp logaritmic $LCA$-ul celor două noduri. Complexitatea finală este <tex>O(Nlog_{2}N + Mlog_{2}N)</tex>. Această soluţie ar trebui să obţină $70$ puncte, iar sursa care se bazează pe această idee este 'aceasta':job_detail/369283?action=view-source.

O altă soluţie relativ uşor şi rapid de implementat în condiţii de concurs este cea care foloseşte ideea de la problema 'Strămoşi':problema/stramosi. Se reţine pentru fiecare nod strămoşul cu <tex>2^{k}</tex> nivele mai sus, unde $k$ ia valori între <tex>1</tex> şi <tex>log_{2}N</tex>. Astfel, pentru fiecare query, se aduce nodul de pe nivelul mai mare pe acelaşi nivel cu celălalt în timp logaritmic, după care, tot în timp logaritmic, se poate afla $LCA$-ul celor două noduri. Complexitatea finală este deci <tex>O(Nlog_{2}N + Mlog_{2}N)</tex>. Această 'soluţie':job_detail/369283?action=view-source ar trebui să obţină $70$ puncte.

Soluţia care ar trebui să obţină $100$ de puncte se bazează pe următoarea observaţie: „Cel mai apropiat strămoş comun a $2$ noduri este nodul de nivel minim dintre primele apariţii ale nodurilor din query din 'reprezentarea Euler a arborelui':lowest-common-ancestor.” În cazul de faţă, reprezentarea Euler a arborelui este următoarea, pe următorul rând găsindu-se nivelurile nodurilor:

|_. $Reprezentarea Euler$| $1$ | $2$ | $4$ | $7$ | $4$ | $8$ | $4$ | $2$ | $5$ | $2$ | $6$ | $9$ | $6$ | $2$ | $1$ | $3$ | $10$ | $3$ | $11$ | $3$ | $1$ |
|_. $Nivelul$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ |

Pentru exemplificare, nodurile $8$ şi $9$ au cel mai apropiat strămoş comun nodul cu nivel minim din secvenţa $8 4 2 5 2 6 9$, adică nodul $2$, care are nivelul $1$.

Pentru exemplificare, nodurile $8$ şi $9$ au cel mai apropiat strămoş comun nodul cu nivel minim din secvenţa $8 4 2 5 2 6 9$, adică nodul $2$, care are nivelul $1$. Pentru a implementa această soluţie, se folosesc 'arbori de intervale':problema/arbint, având complexitatea <tex>O(N + Mlog_{2}N)</tex>, 'soluţie':job_detail/368434?action=view-source care ar trebui sa obţină $70$ de puncte. Mai eficient, ţinând cont de restricţiile problemei, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi 'RMQ':problema/rmq. Astfel, complexitatea finală va fi <tex>O(Nlog_{2}N + M)</tex>, această 'soluţie':job_detail/368469?action=view-source obţinând $100$ de puncte. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că se foloseşte <tex>O(Nlog_{2}N)</tex> memorie, ceea ce poate fi un impediment în anumite cazuri.

Pentru a implementa această soluţie, se folosesc 'arbori de intervale':problema/arbint, având complexitatea <tex>O(N + Mlog_{2}N)</tex>, 'soluţie':job_detail/368434?action=view-source care ar trebui sa obţină $70$ de puncte. Mai eficient, ţinând cont de restricţiile problemei, pentru determinarea minimului unei subsecvenţe se poate folosi 'RMQ':problema/rmq. Astfel, complexitatea finală va fi <tex>O(Nlog_{2}N + M)</tex>, această 'soluţie':job_detail/368469?action=view-source obţinând $100$ de puncte. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că se foloseşte <tex>O(Nlog_{2}N)</tex> memorie, ceea ce poate fi un impediment în anumite cazuri.
 
O altă soluţie este 'algoritmul lui Tarjan':http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_least_common_ancestors_algorithm care rezolvă query-urile offline, bazându-se pe structura de date 'mulţimi disjuncte':problema/disjoint. Are complexitatea de <tex>O(Nlog*N + M)</tex> şi ar trebui să obţină $70$ de puncte din cauza numărului mare de query-uri. O sursă care se bazează pe această idee este 'aceasta':job_detail/368822?action=view-source. Asemenea metodei cu RMQ, şi această metodă foloseşte o cantitate mai mare de memorie, <tex>O(M)</tex> care în anumite condiţii nu se încadrează limitei de memorie. Un alt dezavantaj în anumite cazuri este faptul că query-urile nu se parcurg în ordine, ci se rezolvă offline.

O ultimă 'soluţie':job_detail/368822?action=view-source foloseşte 'algoritmul lui Tarjan':http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_least_common_ancestors_algorithm care rezolvă query-urile offline, bazându-se pe structura de date 'mulţimi disjuncte':problema/disjoint. Are complexitatea de <tex>O(Nlog*N + M)</tex> şi ar trebui să obţină $70$ de puncte din cauza numărului mare de query-uri. Asemenea metodei cu RMQ, şi această metodă foloseşte o cantitate mai mare de memorie, <tex>O(M)</tex> care în anumite condiţii nu se încadrează limitei de memorie. Un alt dezavantaj în anumite cazuri este faptul că query-urile nu se parcurg în ordine, ci se rezolvă offline.

Un articol ce explică foarte bine atât RMQ, cât şi LCA se găseşte pe 'TopCoder':http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lowestCommonAncestor.