== include(page="template/taskheader" task_id="inversmodular") ==

Se dau doua numere $N$ si $P$, cu $1 ≤ N ≤ P-1$, $N$ si $P$ sunt prime intre ele ({$cmmdc(N,P) = 1$}). Sa se determine $X$ intre $1$ si $P-1$ astfel incat $N * X$ sa fie congruent cu {$1$}, modulo $P$ (restul impartirii lui {$N * X$} la $P$ sa fie {$1$}). Numarul $X$ se va numi inversul modular al lui $N$.

Se dau doua numere $A$ si $N$, cu $1 ≤ A ≤ N-1$, prime intre ele (cel mai mare divizor comun al lor este $1$). Sa se determine $X$ intre $1$ si $N-1$ astfel incat $A * X$ sa fie congruent cu {$1$}, modulo $N$ (restul impartirii lui {$A * X$} la $N$ sa fie {$1$}). Numarul $X$ se va numi inversul modular al lui $A$.

h2. Date de intrare

Fisierul de intrare $inversmodular.in$ va contine pe prima linie numerele $N$ si $P$, separate printr-un spatiu.

Fisierul de intrare $inversmodular.in$ va contine pe prima linie numerele $A$ si $N$, separate printr-un spatiu.

h2. Date de ieşire

h2. Restricţii

* $1 ≤ P ≤ 2.000.000.000$
* $1 ≤ N ≤ P-1$
* Pentru primele $70%$ din teste $P$ este prim.

* $1 ≤ N ≤ 2.000.000.000$
* $1 ≤ A ≤ N-1$
* Pentru $70%$ din teste $N$ este prim.

h2. Exemplu

h2. Indicaţii de rezolvare

Un algoritm evident ar fi incercarea tuturor numerelor $X$ intre $1$ si $P-1$ si verificarea proprietatii din enunt pentru $X$. O astfel de solutie are complexitatea {$O(P)$} si obtine 30 de puncte. Sursa se poate gasi 'aici':job_detail/223241?action=view-source.

Un algoritm evident ar fi incercarea tuturor numerelor $X$ intre $1$ si $N-1$ si verificarea proprietatii din enunt pentru $X$. O astfel de solutie are complexitatea {$O(N)$} si obtine 30 de puncte. Sursa se poate gasi 'aici':job_detail/223241?action=view-source.

Complexitatea optima pentru determinarea inversului modular este {$O(log{~2~}P)$}. Din "mica teorema a lui Fermat":http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem stim ca  {$X^phi(P)^ = 1$}({$%P$}), pentru orice numar $P$ si $X$, pentru care se respecta conditia ca $X$ e relativ prim cu $P$. Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe teoria grupurilor.
Din teorema rezulta ca {$X^phi(P)^ = X * X^phi(P)-1^$} este congruent cu $1$, modulo $P$, deci {$X^phi(P)-1^$} este inversul modular al lui {$X$}. Solutia problemei va fi deci {$X^phi(P)-1^ modulo P$}. Putem folosi 'exponentierea in timp logaritmic':problema/lgput pentru a calcula {$X^phi(P)-1^ modulo P$} in complexitate {$O(log{~2~}P)$}.Pentru determinarea lui phi({$P$}), avem complexitate <tex> \sqrt{P} </tex>. Pentru cazul particular cand $P$ este prim, $phi(P) = P - 1$, deci raspunsul va fi $X^P-2^$. In acest caz, inversul modular se obtine in complexitate $O(logP)$. O implementare ce se bazeaza pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/227473?action=view-source.

O complexitate mai buna se obtine folosind "teorema lui Euler":http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem, din care avem ca {$A^phi(N)^$} este congruent cu $1$, modulo $N$, unde {$phi(N)$} reprezinta numarul numerelor mai mici decat $N$ si prime cu $N$. Cum {$A^phi(N)^ = A * A^phi(N)-1^$} rezulta ca {$A^phi(N)-1^$} este inversul modular al lui {$A$}. Solutia problemei va fi deci {$A^phi(N)-1^ modulo N$}. Putem folosi 'exponentierea in timp logaritmic':problema/lgput pentru a calcula {$A^phi(N)-1^ modulo N$} in complexitate {$O(log{~2~}N)$}. Putem sa calculam {$phi(N)$} in complexitate <tex>O(\sqrt{N})</tex>. Pentru cazul particular cand $N$ este prim, $phi(N) = N-1$, deci raspunsul va fi $A^N-2^$ (dupa cum reiese si din "mica teorema a lui Fermat":http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem). O implementare ce se bazeaza pe aceasta idee se gaseste 'aici':job_detail/227473?action=view-source.

O alta abordare optima se bazeaza pe principiul 'extins al lui Euclid':problema/euclid3: oricare ar fi $N$ si $P$ numere intregi exista doua numere intregi $A$ si $B$ astfel incat {$A * N + B * P = cmmdc(N, P)$}. Cum in problema determinarii inversului modular avem cmmdc({$N$},{$P$})=1, exista $A$ si $B$ astfel incat {$A * N + B * P = 1$}. Considerand ecuatia modulo $P$, deoarece {$B * P$} este divizibil cu {$P$}, avem {$A * N$} congruent cu {$1$} (modulo $P$), deci $A$ este inversul modular pentru {$N$}. Complexitatea acestui algoritm este tot {$O(log{~2~}P)$}, deoarece coeficientii $A$ si $B$ pot fi determinati in timp logaritmic. {$A$} poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. O astfel de solutie se poate gasi 'aici':job_detail/226687?action=view-source.

Complexitatea optima pentru determinarea inversului modular este {$O(log{~2~}P)$}. Putem folosi principiul 'extins al lui Euclid':problema/euclid3: oricare ar fi $A$ si $N$ numere intregi exista doua numere $X$ si $Y$ de asemenea intregi astfel incat {$A * X + N * Y = cmmdc(A, N)$}. Cum in problema determinarii inversului modular avem {$cmmdc(A, N) = 1$}, exista $X$ si $Y$ astfel incat {$A * X + N * Y = 1$}. Considerand ecuatia modulo $P$, deoarece {$B * P$} este divizibil cu {$P$}, avem {$A * N$} congruent cu {$1$} (modulo $P$), deci $A$ este inversul modular pentru {$N$}. Complexitatea acestui algoritm este tot {$O(log{~2~}P)$}, deoarece coeficientii $A$ si $B$ pot fi determinati in timp logaritmic. {$A$} poate sa fie si negativ, deci trebuie sa adaugam $P$ la $A$ pana devine pozitiv. O astfel de solutie se poate gasi 'aici':job_detail/226687?action=view-source.

h2. Aplicatii