Fişierul intrare/ieşire:infasuratoare.in, infasuratoare.outSursăArhiva educationala
AutorArhiva EducationalaAdăugată demariusdrgdragus marius mariusdrg
Timp execuţie pe test0.5 secLimită de memorie24096 kbytes
Scorul tăuN/ADificultateN/A

Vezi solutiile trimise | Statistici

Infasuratoare convexa

Dandu-se un set de N puncte in plan, sa se determine poligonul convex de arie minima care are in interiorul lui sau pe margini toate punctele date. Poligonul astfel obtinut se numeste infasuratoarea convexa a celor N puncte.

Date de intrare

În fişierul de intrare infasuratoare.in se va gasi pe prima linie un numar natural N, care reprezinta numarul de puncte din set. Pe fiecare din urmatoarele N linii se va gasi o pereche de numere rationale Xi, Yi care reprezinta coordonatele punctului i.

Date de ieşire

Pe prima linie a fişierului de ieşire infasuratoare.out se va afla H, numarul de puncte de pe infasuratoarea convexa. Pe urmatoarele H linii se vor gasi cele H puncte ce alcatuiesc poligonul, in ordine trigonometrica.

Restricţii

  • 3 ≤ N ≤ 120.000
  • -1.000.000.000 ≤ Xi,Yi ≤ 1.000.000.000
  • 50% din teste sunt generate aleator si astfel au putine puncte pe infasuratoare
  • Se recomanda lucrul cu o precizie de 10-12 pentru lucrul cu numere reale
  • Nu vor exista puncte coliniare pe infasuratoarea convexa.

Exemplu

infasuratoare.ininfasuratoare.out
8
2.0 0.0
0.0 2.0
1.0 3.0
0.0 4.0
3.0 3.0
2.0 6.0
4.0 2.0
4.0 4.0
6
2.000000 0.000000
4.000000 2.000000
4.000000 4.000000
2.000000 6.000000
0.000000 4.000000
0.000000 2.000000

Indicaţii de rezolvare

Fie H numarul de varfuri al infasuratorii convexe. O prima observatie esentiala este ca varfurile poligonului solutie sunt puncte din setul celor N puncte date initial.
Cu aceasta observatie, concepem urmatorul algoritm naiv si usor de implementat. Se incepe cu un punct care se afla sigur pe infasuratoare. Sa presupunem ca il alegem pe cel mai din stanga si in caz de egalitate pe cel mai de jos. Dupa ce s-a ales acest punct se incearca toate punctele si se alege punctul care face o intoarcere de unghi maxim spre stanga cu punctul curent. Acest pas se poate face in O(N). Punctul nou determinat se afla la randul lui pe infasuratoare deoarece nu exista niciun alt punct care unit cu primul sa il acopere. Se repeta pasul anterior, de fiecare data cu ultimul punct ales, pana cand ajungem din nou la punctul de pornire. Aceasta solutie face O(N) pasi pentru fiecare punct de pe infasuratoare convexa, deci complexitatea finala este O(N*H). Pe teste generate uniform aleator aceasta solutie face un numar mic de operatii deoarece H este comparabil cu log2N, dar pentru teste generate inteligent, cand H este de ordinul O(N), algoritmul executa O(N2) pasi. Aceast algoritm este cunoscut ca Jarvis' March sau impachetarea pachetului. O sursa folosind acest algoritm se poate vedea aici

O alta solutie se bazeaza pe sortarea dupa unghi. Se alege un punct care sa fie sigur pe infasuratoare: cel mai din stanga punct, iar in caz de egalitate cel mai de jos. Se sorteaza toate punctele in functie de panta dreptei care uneste punctul ales de restul punctelor (unghiul polar), dupa care se construieste o stiva care retine in fiecare moment infasuratoare convexa curenta. Atunci cand un punct este introdus in stiva va scoate puncte pana cand acesta formeaza cu dreapta definita de ultimele 2 puncte din stiva un unghi mai mic de 180 de grade. Repetand procedeul pentru fiecare punct se va inchide poligonul. Acest algoritm se numeste scanarea Graham. Complexitatea sortarii punctelor va fi O(Nlog2N), iar complexitatea construirii propriu-zise a poligonului va fi liniara, deoarece fiecare pas are complexitatea O(1) amortizat, fiecare punct intrand si iesind din stiva maxim o data. Complexitatea finala va fi deci O(Nlog2N). Un dezavantaj al acestui algoritm este sortarea dupa unghi, care poate produce erori de precizie. O modalitate de sortare cu erori de precizie mici se poate observa aici.

O alta solutie care are complexitate tot O(Nlog2N), dar care se poate imbunatati in functie de particularitatile problemei, este compusa din urmatorii pasi:

  • Se sorteaza punctele dupa x, iar in caz de egalitate dupa y
  • Se aleg cel mai din stanga si cel mai din dreapta punct si se desparte problema in 2 subprobleme similare. Pe fiecare parte a dreptei determinata de cele doua puncte trebuie sa fie gasita infasuratoarea. Aceasta se realizeaza cu o stiva foarte asemanatoare cu cea prezentata anterior. Cat timp de ambele parti ale dreptei este respectata convexitatea si ambele parti incep si se termina cu punctele alese (cel mai din stanga si cel mai din dreapta), reuninuea lor va reprezenta infasuratoarea convexa a tuturor punctelor.
    O astfel de implementare se poate vedea aici.

O optimizare care se poate aduce este atunci cand punctele au coordonate intregi, cand putem folosi in pasul de sortare algoritmi precum Radix Sort sau, uneori, Counting Sort. In plus, daca punctele sunt direct sortate, complexitatea devine O(N).

Aplicaţii

Determinarea infasuratorii convexe reprezinta un algoritm fundamental in geometria computationala. Multe probleme dificile pornesc de la construirea acestui poligon. Printre problemele ce folosesc algoritmii descrisi mai sus, amintim:

Trebuie sa te autentifici pentru a trimite solutii. Click aici

Cum se trimit solutii?

remote content