Diferente pentru problema/huffman intre reviziile #21 si #6

Nu exista diferente intre titluri.

Diferente intre continut:

== include(page="template/taskheader" task_id="huffman") ==
'Codurile Huffman':http://en.wikipedia.org/wiki/Huffman_coding reprezintă o tehnică foarte eficientă de compactare a datelor, spaţiul economisit fiind cuprins adesea între $20%$ şi $90%$. Algoritmul greedy pentru realizarea acestei codificări înregistrează frecvenţele de apariţie ale fiecărui simbol dintr-un fişier, după care utilizează o modalitate optimă pentru reprezentarea fiecărui simbol sub forma unui şir binar.
 
Astfel, se dă o mulţime $A = {a{~1~},a{~2~},...,a{~n~}}$ formată din $n$ simboluri. Numim cod binar un şir de cifre de $0$ şi $1$ de o lungime finită. Fie $B$ un şir de lungime $n$ de coduri binare cu proprietatea că niciun cod $b{~i~}$ nu este prefixul unui alt cod $b{~j~}$ $(i ≠ j)$.
Se dă un alfabet $A$ format din $N$ caractere. Numim cod binar un şir de cifre de $0$ şi $1$ de o lungime finită. Fie $B$ un şir de lungime $N$ de coduri binare cu proprietatea că niciun cod $B{~i~}$ nu este prefixul unui alt cod $B{~j~}$ $(i ≠ j)$.
h2. Cerinţă
Ştiindu-se că într-un text $T$ simbolul $a{~i~}$ apare de $v{~i~}$ ori, să se determine un şir $B$ astfel încât înlocuind în textul $T$ fiecare simbol $a{~i~}$ cu codul $b{~i~}$ să se obţină un text $T'$ de lungime minimă $lg$.
Ştiindu-se că într-un text T caracterul $A{~i~}$ apare de $V{~i~}$ ori, să se determine un şir $B$ astfel încât înlocuind în textul $T$ fiecare caracter $A{~i~}$ cu codul $B{~i~}$ să se obţină un text $T'$ de lungime minimă $L$.
h2. Date de intrare
Fişierul de intrare $huffman.in$ va conţine pe prima linie numărul natural $n$. Pe următoarele $n$ linii se vor afla elementele şirului $V$, în ordine crescătoare.
Fişierul de intrare $huffman.in$ va conţine pe prima linie numărul natural $N$. Pe următoarele $N$ linii se vor afla elementele şirului $V$, în ordine crescătoare.
h2. Date de ieşire
În fişierul de ieşire $huffman.out$ se va afişa pe prima linie lungimea minimă $lg$ a textului $T'$. Pe linia $i$ din următoarele $n$ se vor afişa câte două numere naturale caracterizând elementele şirului $B$: lungimea fiecărui cod şi reprezentarea sa în baza $10$, $b{~i~}$, asociate codului $a{~i~}$.
În fişierul de ieşire $huffman.out$ se va afişa pe prima linie lungimea minima $L$ a textului $T'$. Pe următoarele $N$ linii se vor afişa $2$ numere naturale caracterizând elementele şirului $B$: lungimea fiecărui cod şi reprezentarea sa în baza $10$.
h2. Restricţii
* $1 ≤ n ≤ 1 000 000$.
* $1 ≤ v{~i~} ≤ 100 000 000$.
* $1 ≤ lg ≤ 10^18^$.
* $b{~i~} ≤ 10^18^, 1 ≤ i ≤ N$.
* Soluţia nu este unică; poate fi afişată orice soluţie ce duce la o lungime $lg$ minimă.
* $1 ≤ N ≤ 5 000 000.$
* $1 ≤ V{~k~} ≤ 100 000 000.$
* $1 ≤ L ≤ 10^18^.$
* $B{~i~} ≤ 10^18^, 1 ≤ i ≤ N.$
h2. Exemplu
table(example). |_. huffman.in |_. huffman.out |
| 16
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
4
4
7
| 135
5 18
5 7
5 24
5 19
5 6
5 25
4 6
4 11
4 2
4 7
4 8
4 10
4 13
3 0
3 2
3 7
| This is some
  text written on
  multiple lines.
| This is another
  text written on
  multiple lines.
|
h3. Explicaţie
Pentru a materializa exemplul, am atribuit simboluri frecvenţelor date. Arborele Huffman obţinut se poate vedea în figura alăturată. _(Sursa 'wikipedia':http://en.wikipedia.org)_
 
Simbolurile, împreună cu frecvenţele şi codificările aferente se găsesc în lista următoare (simbol, frecvenţă, codul binar):
 
!> problema/huffman?Huffman_tree_2.png 65%!
 
* $space, 7, 111$
* $a, 4, 010$
* $e, 4, 000$
* $f, 3, 1101$
* $h, 2, 1010$
* $i, 2, 1000$
* $m, 2, 0111$
* $n, 2, 0010$
* $s, 2, 1011$
* $t, 2, 0110$
* $l, 1, 11001$
* $o, 1, 00110$
* $p, 1, 10011$
* $r, 1, 11000$
* $u, 1, 00111$
* $x, 1, 10010$
 
Lungimea totală a textului $T'$ este $135$, valoare ce se obţine însumând valorile tuturor nodurilor interne, adică cele albastre.
 
h2. Soluţie
 
Problema se rezolvă printr-un algoritm greedy, 'codarea Huffman':http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/ita/chap17.htm. Se pot considera cele $n$ simboluri noduri într-un graf, având fiecare un cost egal cu numărul de apariţii al simbolului în textul $T$. La fiecare pas se creează un nod nou şi se duc de la acesta două muchii către nodurile cu costul minim care nu au fost încă unite, costul acestuia fiind egal cu suma costurilor celor doi fii. Pentru a putea reconstitui ulterior codurile, se asociaza celor două muchii valorile $0$, spre stânga, şi $1$, spre dreapta. Se va obţine un arbore binar cu $2*n-1$ noduri, suma costurilor nodurilor interne fiind egală cu lungimea textului $T'$.
Algoritmul se poate generaliza pentru coduri in baza $K$, selectând la fiecare pas cele mai mici $K$ noduri pentru a le uni cu nodul nou creat. De asemenea, trebuie create caractere fictive cu $0$ apariţii, pentru ca numărul iniţial de noduri să fie de forma $X * (K-1) + 1$.
 
h3. Etape de rezolvare
 
O 'soluţie':job_detail/370657?action=view-source în care căutarea celor două noduri de cost minim se face liniar are o complexitate $O(N^2^)$ şi obţine $30$ de puncte. Folosind un 'heap':problema/heapuri pentru a extrage nodurile de cost minim, complexitatea scade la $O(N log{~2~} N)$. Această 'soluţie':job_detail/370924?action=view-source obţine $70$ de puncte. În cazul în care costurile nodurilor sunt date în ordine crescătoare, se pot ţine două cozi, conţinând nodurile iniţiale, respectiv nodurile interne. Observând că nodurile sunt sortate crescător după cost, se pot extrage cele două minime şi introduce nodul nou în $O(1)$. Această 'soluţie':job_detail/370923?action=view-source obţine $100$ de puncte.
 
h2. Probleme propuse
 
* 'Fence repair':http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3253, pku
* 'Hyperhuffman':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=203, sgu
* 'Scandura':problema/scandura
* 'K1':problema/k1
== include(page="template/taskfooter" task_id="huffman") ==

Nu exista diferente intre securitate.

Diferente intre topic forum:

4345