h2. Indicatii de rezolvare
Problema se poate rezolva $brute-force$, tinand numerele intr-un vector si efectuand fiecare operatie fara nici un rafinament. Aceasta solutie are complexitate $O(1)$ pe o operatie de tipul $1$ si $O(N)$ pe celelalte. O astfel de rezolvare nu ar trebui sa ia mai mult de $30$ de puncte.
Problema se poate rezolva $brute-force$, tinand numerele intr-un vector si efectuand fiecare operatie fara nici un rafinament. Aceasta solutie are complexitate $O(1)$ pe o operatie de tipul $1$ si $O(N)$ pe celelalte. O astfel de abordare nu ar trebui sa ia mai mult de $30$ de puncte.
Rezolvarea optima bazeaza pe folosirea unui heap, care suporta aceste efectuarea operatiilor de tipul $1$ si $2$ in $O(log N)$ si a operatiilor de tipul $3$ in $O(1)$.
Un heap este un arbore binar, cu proprietatea ca fiecare nod, are asociata o cheie, cheie care este mica decat cheile asociate nodurilor din subarborele sau. Evident raspunsul la operatiile de tip $3$ se va gasi in radacina arborelui.
O implementare usoara este aceea de a reprezenta heapul ca pe un vector. Astfel radacina se va afla pe pozitia $1$ iar pentru un nod $i$, fii lui se vor afla pe pozitiile $2*i$ respectiv $2*i+1$.
Cand vrem sa inseram un element nou in vector, il adaugam la capatul sirului, si apoi il interschimbam cu parintele sau pana cand se respecta proprietatea de heap.
De asemenea pentru fiecare element vom tine minte pozitia pe care se afla acesta in vector. Astfel ca atunci cand o sa vrem sa stergem un element din heap, il interschibam cu ultimul element din vector si scadem dimensiunea acestuia cu $1$. Totusi acest lucru ne poate strica proprietatea de heap. Astfel avem $2$ cazuri:
Rezolvarea optima foloseste o structura de date cunoscuta sub numele de $heap$, care suporta efectuarea operatiilor de tipul $1$ si $2$ in complexitate timp $O(log N)$ si a operatiilor de tipul $3$ in timp constant.
* Elementul nostru este mai mic decat parintele sau, caz in care aplicam acelasi algoritm pe care il aplicam si atunci cand vrem sa adaugam un nod in heap, adica il interschibam cu parintele sau pana cand se va respecta proprietatea de heap.
* Elementul nostru este mai mare decat fii sai, caz in care vom continua sa il interschimbam cu cel mai mic fiu al sau pana cand acesta va fi mai mare decat ambii sai fii.
Un $heap$ este un arbore binar, cu proprietatea ca fiecare nod are asociata o cheie, cheie care este mica decat cheile asociate nodurilor din subarborele sau. Astfel, raspunsul la o operatie de tip $3$ se va gasi in radacina arborelui.
*Nota* La fiecare operatie trebuie sa avem grija sa actualizam pozitiile elementelor.
Pentru a intelege modul in care functioneaza aceasta structura de date va recomandam sa cititi
'acest articol':heapuri, ce contine si cateva desene demonstrative.
Un articol interesant care descrie foarte bine operatiile suportate de un heap se afla "aici":http://infoarena.ro/heapuri.
Pentru a putea implementa mai usor aceasta structura, se recomanda reprezentarea $heap$-ului ca un vector. Astfel radacina se va afla pe pozitia $1$, iar pentru un nod $i$, parintele sau se va afla pe pozitia $i/2$, in timp ce fii lui se vor afla pe pozitiile $2*i$ si, respectiv, $2*i+1$. De asemenea, va fi necesar sa pastram un vector cu pozitia fiecarui nod in heap, pentru a-l putea localiza rapid in cazul unei operatii de stergere.
h2. Aplicatii
