algsort

Sortare prin comparare

h2. Date de iesire

In fisierul $algsort.out$ veti tipari restul impartirii sumei <tex>S=\sum_{i=1}^N {i \cdot v[i]}</tex> la numarul $123457$, unde $v[]$ este vectorul celor $N$ numere sortate in ordine crescatoare (si indexate incepand cu pozitia $1$). Pentru detalii despre calculul acestei sume, consultati sectiunea $Observatii$.

In fisierul $algsort.out$ veti tipari cele $N$ numere din fisierul de intrare, sortate in ordine crescatoare.

h2. Restrictii

table(example).
|_. algsort.in |_. algsort.out |

| 5
4 7 5 1 3 | 74 |
 
h3. Explicatie
 
Dupa sortare, vectorul v devine:
 
|_. i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|_. v[i] | 1 | 3 | 4 | 5 | 7 |
 
Astfel, <tex>S=1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 7=74</tex>, iar restul impartirii acestui numar la $123457$ este tot $74$.

| 6
4 1 7 5 1 3 | 1 1 3 4 5 7 |

h2. Observatii

Problema sortarii eficiente a datelor impune, in conditiile de fata, cateva particularitati de evaluare pe care le vom descrie in continuare:
 
h3. Citirea datelor
 
Limita de timp impusa este de $500 ms$, din care, pentru testele maxime, intre $150$ si $300 ms$ vor fi ocupate de citirea datelor. *Nu* este necesara folosirea functiilor specializate de citire a blocurilor de caractere (parsarea citirii) pentru a obtine punctajul maxim, insa recomandam folosirea stream-urilor C++, care se comporta mai bine in mediul de evaluare decat functiile de citire din libraria standard C.
 
h3. Scrierea rezultatelor
 
Fisierul de iesire nu va contine toate numerele afisate in ordine crescatoare deoarece dimensiunea lui ar creste foarte mult si, odata cu aceasta, si timpul de executie al programului. Astfel, cea mai mare parte a timpului alocat pentru executie ar fi ocupat de scrierea informatiilor in fisier, si nu de algoritm in sine. Din acest motiv, dupa ce vectorul de numere (il vom nota cu $v$) va fi sortat, va trebui calculata si tiparita suma $S$ conform cerintei. Valoarea acestei sume poate fi foarte mare, iesind din tipurile standard de date, iar pentru calculul ei ne vom folosi de faptul ca nu avem nevoie decat de restul impartirii ei la numarul $123457$:

Limitele de timp si memorie folosite va ofera posibilitatea de a studia comparativ diverse implementari ale diversilor algoritmi de sortare intalniti.

==code(c) |
S <- 0
pentru i <- 1, N
	S <- (S + i*v[i]) mod 123457
sfarsit pentru
==
 
Singurul detaliu la care trebuie sa mai avem grija este faptul ca rezultatul inmultirii $i*v[i]$ poate depasi tipul de date in care se incadreaza factorii ei (intregi cu semn pe 32 de biti). De aceea, fie va trebui sa facem o conversie explicita catre un tip intreg pe 64 de biti ( $long long$ sau $int64$), fie ne vom folosi de particularitatile de limbaj sau de compilator, declarand unul dintre factorii produsului ca intreg pe 64 de biti.

In analiza comportamentului surselor evaluate trebuie sa tineti cont de faptul ca cea mai mare parte a timpului de executie va fi ocupata de citirea si scrierea datelor in fisier (pentru testele maxime, intre $400$ si $600 ms$ vor fi ocupate de operatiile de intrare/iesire). *Nu* este necesara folosirea functiilor specializate de citire a blocurilor de caractere (parsarea citirii) pentru a obtine punctajul maxim, insa recomandam folosirea stream-urilor C++, care se comporta mai bine in mediul de evaluare decat functiile de citire din libraria standard C.

h3. Structura testelor

Datorita largii varietati de algoritmi de sortare si comportarii lor diferite in functie de anumite particularitati structurale ale datelor de intrare, pentru evaluarea problemei se folosesc $5$ grupe de cate $4$ teste. Toate testele aflate in aceeasi grupa vor avea aceeasi valoare pentru $N$ si acelasi domeniu de valori pentru cele N numere: <tex>0 \le v[i] \le \lfloor N \cdot \gamma \rfloor</tex>, unde <tex>\gamma = \frac{2^{31}-1}{500000}</tex>. Testele din cadrul fiecarei grupe se vor diferentia astfel:

Datorita largii varietati de algoritmi de sortare si comportarii lor diferite in functie de anumite particularitati structurale ale datelor de intrare, pentru evaluarea problemei se folosesc $5$ grupe de cate $4$ teste. Toate testele aflate in aceeasi grupa vor avea aceeasi valoare pentru $N$ si acelasi domeniu de valori pentru cele N numere: <tex>0 \le v[i] \le \lfloor N \cdot \gamma \rfloor</tex>, unde <tex>\gamma = \frac{2^{31}-1}{500000}</tex>. Valorile lui $N$ pentru cele 5 grupe de teste sunt $10$, $1.000$, $100.000$, $350.000$ respectiv $500.000$. Testele din cadrul fiecarei grupe se vor diferentia astfel:

* primul test va contine numere generate aleator
* al doilea test va contine numere "aproape sortate" (numarul de inversiuni din lista de numere este mic)
* al treilea test va contine numerele sortate in ordine descrescatoare
* al patrulea test va contine numerele in ordine aleatoare, insa vor exista putine perechi de numere distincte (foarte multe dintre numere vor aparea de mai multe ori in fisierul de intrare)

h3. Limite de timp si memorie
 
Limitele de timp si memorie au fost alese in asa fel incat punctajul maxim sa poata fi obtinut doar de implementari bune ale unor algoritmi de sortare eficienti atat din punct de vedere al timpului de executie (complexitatea ceruta este <tex>\mathit{O}\left( N \cdot \log N \right)</tex>), cat si din punct de vedere al memoriei suplimentare folosite (<tex>\mathit{O}\left( \log N \right)</tex> memorie suplimentara admisa).
 

h2. Solutie
Structura problemei cere implementarea unui 'algoritm de sortare pe baza de comparatii':http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort. Exista, de asemenea, algoritmi de sortare care nu compara explicit elementele si care au performante mai bune pentru anumite cazuri particulare ale structurii datelor de intrare; acestia nu se preteaza insa cerintelor impuse in cazul de fata.

Orice algoritm de sortare bazat pe comparatii trebuie sa efectueze, pentru a putea distinge corect toate cele <tex>N!</tex> permutari posibile ale sirului de valori, <tex>\Omega \left( N \cdot \log N \right)</tex> comparatii (o justificare a acestui rezultat se afla 'aici':http://www.cs.utexas.edu/~vlr/s07.357/notes/lb-apr5.pdf). Din aceasta perspectiva, algoritmi precum 'Merge Sort':http://en.wikipedia.org/wiki/Merge_sort, 'Heapsort':http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort sau 'Introsort':http://en.wikipedia.org/wiki/Introsort sunt optimi, executand <tex>\Theta \left( N \cdot \log N \right)</tex> operatii in cazul cel mai defavorabil. Dintre acestia, Merge Sort foloseste <tex>\mathit{O}\left( N \right)</tex> memorie suplimentara in implementarea clasica, deci nu se va incadra in restrictiile problemei.

Orice algoritm de sortare bazat pe comparatii trebuie sa efectueze, pentru a putea distinge corect toate cele <tex>N!</tex> permutari posibile ale sirului de valori, <tex>\Omega \left( N \cdot \log N \right)</tex> comparatii (o justificare a acestui rezultat se afla 'aici':http://www.cs.utexas.edu/~vlr/s07.357/notes/lb-apr5.pdf). Din aceasta perspectiva, algoritmi precum 'Merge Sort':http://en.wikipedia.org/wiki/Merge_sort, 'Heapsort':http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort sau 'Introsort':http://en.wikipedia.org/wiki/Introsort sunt optimi, executand <tex>\Theta \left( N \cdot \log N \right)</tex> operatii in cazul cel mai defavorabil. Dintre acestia, Merge Sort foloseste <tex>\mathit{O}\left( N \right)</tex> memorie suplimentara in implementarea clasica.
 
Un alt algoritm de sortare foarte popular este 'Quicksort':http://en.wikipedia.org/wiki/Quicksort. Desi complexitatea sa pentru cazul cel mai defavorabil este <tex>\mathit{O}\left( N^2 \right)</tex>, in practica se comporta foarte bine si cunoaste multe imbunatatiri (detalii in prezentarea profesorului Robert Sedgewick 'aici':http://www.sorting-algorithms.com/static/QuicksortIsOptimal.pdf si a profesorului Jon Bentley 'aici':blog/three-beautiful-quicksorts).

Un alt algoritm de sortare foarte popular este 'Quicksort':http://en.wikipedia.org/wiki/Quicksort. Desi complexitatea sa pentru cazul cel mai defavorabil este <tex>\mathit{O}\left( N^2 \right)</tex>, in practica se comporta foarte bine si cunoaste multe imbunatatiri (detalii in prezentarea profesorului Robert Sedgewick 'aici':http://www.sorting-algorithms.com/static/QuicksortIsOptimal.pdf si a profesorului Jon Bentley 'aici':http://infoarena.ro/blog/three-beautiful-quicksorts).

In libraria standard a limbajului C este implementata o varianta naiva de Quicksort (poate fi apelata prin $qsort(...)$ - o sursa demonstrativa gasiti 'aici':job_detail/239877?action=view-source), iar STL-ul ofera programatorilor C++ atat functia $sort$, o implementare a algoritmului Introsort (o sursa demonstrativa 'aici':job_detail/239875?action=view-source), cat si functiile $make_heap$ si $sort_heap$, pentru a putea implementa usor Heapsort (sursa demonstrativa 'aici':job_detail/239880?action=view-source). De asemenea, o varianta scurta de implementare a algoritmului Merge Sort (inspirata din acest 'articol':multe-smenuri-de-programare-in-cc-si-nu-numai) puteti gasi 'aici':job_detail/239878?action=view-source.

In libraria standard a limbajului C este implementata o varianta naiva de Quicksort (poate fi apelata prin $qsort(...)$ - o sursa demonstrativa gasiti 'aici':http://infoarena.ro/job_detail/234849?action=view-source), iar STL-ul ofera programatorilor C++ atat functia $sort$, o implementare a algoritmului Introsort (o sursa demonstrativa 'aici':http://infoarena.ro/job_detail/234850?action=view-source), cat si functiile $make_heap$ si $sort_heap$, pentru a putea implementa usor Heapsort (sursa demonstrativa 'aici':http://infoarena.ro/job_detail/234851?action=view-source).

Alti algoritmi neoptimi, ce ruleaza in cazul mediu in complexitate <tex>\mathit{O}\left( N^2 \right)</tex>, dar elementari si foarte usor de inteles sunt: "Bubblesort":http://en.wikipedia.org/wiki/Bubble_sort, "Selection Sort":http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_sort si "Insertion Sort":http://en.wikipedia.org/wiki/Insertion_sort.

Pentru mai multe detalii si un studiu comparativ al algoritmilor de sortare vizitati 'pagina Wikipedia dedicata acestui subiect':http://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_algorithm.

h2. Aplicatii
 
Sortarea datelor apare ca subproblema sau etapa intermediara intr-o larga varietate de probleme si algoritmi, fiind considerata astfel una dintre temele principale de studiu in informatica teoretica. Diverse strategii greedy cu aplicatii in planificarea activitatilor, determinarea 'arborilor partiali de cost minim':problema/apm ({'algoritmul lui Kruskal':http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithm}) sau constructia 'codurilor Huffman':http://en.wikipedia.org/wiki/Huffman_coding, implica o prima etapa de sortare a datelor. De asemenea, in geometria computationala intalnim sortarea punctelor dupa unghiul polar pentru determinarea 'infasuratorii convexe':problema/infasuratoare sau metoda 'dreptei de baleiere':http://en.wikipedia.org/wiki/Sweep_line, care presupune sortarea punctelor-eveniment dupa anumite criterii.
 
Alte probleme in care este folosita (intr-o forma sau alta) sortarea datelor:
 
* 'Loto':problema/loto
* 'Reactivi':problema/reactivi
* "Akbardin’s Roads":http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1178
* 'Granita':problema/granita
* 'Lungimi de interval':problema/linterv
* 'Sport':problema/sport
* "Rooks":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=269
* 'Cai':problema/cai
* "Inversions":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=180
* 'Cutii':problema/cutii
* 'Invsort':problema/invsort
* 'Mexc':problema/mexc
* 'Demolish':problema/demolish
* "Wolves and Sheep":http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=349
* "Antenna":http://www.hsin.hr/ceoi2006/tasks/day1/antenna.pdf, _CEOI 2006_
* "Sails":http://hsin.hr/ioi2007/tasks/day1/sails.pdf, _IOI 2007_
 

== include(page="template/taskfooter" task_id="algsort") ==

3547