h2(#poligon). Aria unui poligon
Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.
Pentru a calcula aria unui poligon oarecare {$A{~1~}A{~2~}A{~3~}..A{~n~}$}, vom considera un punct P arbitrar ales în plan. Vom "împărţi" poligonul în triunghiuri de forma $PA{~i~}A{~i+1~}$ (considerăm că A{~1~}=A{~n+1~}) şi vom calcula "aria cu semn" $T{~i~}$ a fiecărui triunghi (în formula ariei nu vom folosi funcţia de valoare absolută). Distingem în acest moment două cazuri:
<tex>\displaystyle \sum_{i=2}^{i<n} Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1})</tex>
* Poligonul are vârfurile orientate trigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă.
* Poligonul are vârfurile orientate antitrigonometric. Pentru fiecare latură "spre dreapta", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi pozitivă, iar pentru fiecare latură "spre stânga", aria $T{~i~}$ corespunzătoare va fi negativă.
Unde <tex>Arie(p_{x},p_{y},p_{z})</tex> reprezinta aria triunghiului determinat de punctele $p{~x~}$, $p{~y~}$, $p{~z~}$.
În ambele cazuri, efectuând suma algebrică a ariilor $T{~i~}$ vom obţine aria poligonului (deoarece ariile negative vor "anula" zonele corespunzătoare ariilor pozitive care se află în afara poligonului).
Aria unui poligon concav se calculeaza la fel doar ca atunci cand calculam <tex>Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1}</tex> renuntam la abs, si tinem minte semnul determinantului si luam valoarea absoluta dupa ce am calculat intreaga suma.
!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?poligon.jpg!
Dacă alegem punctul $P(0,0)$, fiecare arie $T{~i~}$ devine:
<tex>\begin{math}T_{i} = \frac{1}{2}\cdot abs\left(\left|\begin{array}{ccc}
\ 0 & 0 & 1\\
x_i & y_i & 1\\
x_i+1 & y_i+1 & 1\end{array}\right|\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>
Formula finală devine:
<tex>\begin{math}
A = \displaystyle\sum_{i=1}^n T_i = \frac{1}{2}\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^n \left(x_i\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_i\right)
\end{math}</tex>
Această formulă reprezintă "aria cu semn" a poligonului (o arie pozitivă indică parcurgerea vârfurilor în ordine trigonometrică, iar o arie negativă, parcurgerea in ordine antitrigonometrică).
