Atenţie! Aceasta este o versiune veche a paginii, scrisă la 2009-06-30 21:42:38.
Revizia anterioară   Revizia următoare  

1. Arii

Noţiunea de arie este una de bază în geometria analitică. Este necesară însă o prezentare a diferitelor metode de a calcula ariile in contextul prelucrarii datelor pe calculator.

Aria unui triunghi

În determinarea ariei unui triunghi se poate folosi formula lui Heron:
\begin{math} A=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}\end
În formulă, s reprezintă semiperimetrul triunghiului, iar a, b, c laturile triunghiului. Această formulă apare şi într-o altă formă, mult mai adecvată algoritmilor prin faptul că se evită calcularea lungimii laturilor cu radical:
\begin{math} A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}\end

În contextul geometriei vectoriale, modulul produsului vectorial a doi vectori o reprezintă aria paralelogramului cuprins între vectori. Aplicând raţionamentul la triunghiuri, obţinem relaţia:
\begin{math} A = \frac{1}{2}\|\vec{v}\times\vec{w}\| = \frac{1}{2}\cdot abs\left(\left|\begin{array}{ccc} \ x_1 & y_1 & 1\ x_2 & y_2 & 1\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right|\right)\end{math}

Aria unui patrulater

După cum am văzut în cazul unui triunghi, aria unui paralelogram ABCD este egală cu modulul produsului vectorial al vectorilor reprezentaţi de 2 laturi neparalele.
\begin{math} A = \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\| \end{math}

Pentru un patrulater oarecare ABCD, putem considera M1, M2, M3, M4 mijloacele laturilor acestuia. Se poate demonstra că patrulaterul M1M2M3M4 este un paralelogram cu aria jumătate din aria lui ABCD:
\begin{math} A = 2\cdot\|\left(\overrightarrow{r_{M_{2}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{M_{4}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\|\end{math}
\begin{math} A = 2\cdot\| \left(\frac{ \vec{r_{B}}+\vec{r_{C}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right) \times \left(\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{D}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right)\| \end{math}
\begin{math} A = \frac{1}{2}\cdot\| \left(\overrightarrow{r_{C}}-\overrightarrow{r_{A}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{D}}-\overrightarrow{r_{B}}\right) \| \end{math}
\begin{math}A = \frac{1}{2}\cdot\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\|\end{math}

Aria unui poligon

Aria unui poligon convex cu n laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.

\displaystyle \sum_{i=2}^{i<n} Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1})

Unde Arie(p_{x},p_{y},p_{z}) reprezinta aria triunghiului determinat de punctele px, py, pz.

Aria unui poligon concav se calculeaza la fel doar ca atunci cand calculam Arie(p_{1},p_{i},p_{i+1} renuntam la abs, si tinem minte semnul determinantului si luam valoarea absoluta dupa ce am calculat intreaga suma.