!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?vector.jpg!

h2(#patrulater). Aria unui patrulater
 
După cum am văzut în cazul unui triunghi, aria unui paralelogram $ABCD$ este egală cu modulul produsului vectorial al vectorilor reprezentaţi de 2 laturi neparalele.
<tex>
\begin{math}
A = \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\|
\end{math}
</tex>
 
Pentru un patrulater oarecare $ABCD$, putem considera {$M{~1~}$}, {$M{~2~}$}, {$M{~3~}$}, {$M{~4~}$} mijloacele laturilor acestuia. Se poate demonstra că patrulaterul {$M{~1~}M{~2~}M{~3~}M{~4~}$} este un paralelogram cu aria jumătate din aria lui $ABCD$:
<tex> \begin{math}
A = 2\cdot\|\left(\overrightarrow{r_{M_{2}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{M_{4}}}-\overrightarrow{r_{M_{1}}}\right)\|\end{math}</tex>
<tex> \begin{math}
A = 2\cdot\|
\left(\frac{ \vec{r_{B}}+\vec{r_{C}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right)
\times
\left(\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{D}} }{2}-\frac{ \vec{r_{A}}+\vec{r_{B}} }{2}\right)\|
\end{math} </tex>
<tex>\begin{math}
A = \frac{1}{2}\cdot\|
\left(\overrightarrow{r_{C}}-\overrightarrow{r_{A}}\right)\times\left(\overrightarrow{r_{D}}-\overrightarrow{r_{B}}\right)
\|
\end{math}</tex>
!notiuni-de-geometrie-si-aplicatii/arii?patrulater.jpg!
 

h2(#poligon). Aria unui poligon
Aria unui poligon convex cu $n$ laturi o putem calcula foarte usor folosind formula pentru aria unui triunghi astfel.