h3. Zaharel

Solutia se bazeaza pe proprietatea foarte importanta (subliniata si in enunt) ca pe fiecare linie exista un punct rosu si pe fiecare coloana un punct albastru. Presupunem ca tinem o lista cu puncte. Initial bagam un punct rosu oarecare. Pe coloana punctului rosu respectiv exista un punct albastru (din proprietatea de mai sus). Inseram acel punct albastru in lista. Pe linia punctul albastru va exista un punct rosu , pe care il vom insera in lista. Repetand acest procedeu vom ajunge la un moment dat la un punct care a mai fost in lista ,deci la un ciclu (acest lucru este evident deoarece numarul punctelor este finit). Punctele rosii de pe ciclu vor reprezenta primul poligon, iar punctele albastre al doilea poligon. Este evident ca vor avea acelasi numar de varfuri, vom arata in continuare ca au si acelasi centru de greutate. Fie primul punct (acela rosu) ({$x{~1~}, y{~1~}$}). Al doilea va fi ({$x{~2~}, y{~1~}$}), al treilea ({$x{~2~}, y{~2~}$}), al patrulea ({$x{~3~}, y{~2~}$}) .. penultimul ({$x{~k~}, y{~k-1~}$}), ultimul ({$x{~k~}, y{~k~}$}) (care va coincide cu un alt punct ({$x{~p~}, y{~p~}$}), {$p < k$}). Se observa ca poligonul rosu va avea ca centru de greutate punctul ({$(x{~p~}&#0043;x{~p+1~}+...+x{~k-1~})/(k-p)$}, (y_p+y_p+1+...+y_k-1)/k-p), iar cel albastru ((x_p+1+x_p+2+...+x_k)/k-p, (y_p+1+y_p+2+...+y_k)/k-p), care coincid deoarece (x_p,y_p) = (x_k, y_k).

Solutia se bazeaza pe proprietatea foarte importanta (subliniata si in enunt) ca pe fiecare linie exista un punct rosu si pe fiecare coloana un punct albastru. Presupunem ca tinem o lista cu puncte. Initial bagam un punct rosu oarecare. Pe coloana punctului rosu respectiv exista un punct albastru (din proprietatea de mai sus). Inseram acel punct albastru in lista. Pe linia punctul albastru va exista un punct rosu , pe care il vom insera in lista. Repetand acest procedeu vom ajunge la un moment dat la un punct care a mai fost in lista ,deci la un ciclu (acest lucru este evident deoarece numarul punctelor este finit). Punctele rosii de pe ciclu vor reprezenta primul poligon, iar punctele albastre al doilea poligon. Este evident ca vor avea acelasi numar de varfuri, vom arata in continuare ca au si acelasi centru de greutate. Fie primul punct (acela rosu) ({$x{~1~}, y{~1~}$}). Al doilea va fi ({$x{~2~}, y{~1~}$}), al treilea ({$x{~2~}, y{~2~}$}), al patrulea ({$x{~3~}, y{~2~}$}) .. penultimul ({$x{~k~}, y{~k-1~}$}), ultimul ({$x{~k~}, y{~k~}$}) (care va coincide cu un alt punct ({$x{~p~}, y{~p~}$}), {$p < k$}). Se observa ca poligonul rosu va avea ca centru de greutate punctul ({$(x{~p~}&#0043;x{~p+1~}&#0043;...&#0043;x{~k-1~})/(k-p)$}, (y_p+y_p+1+...+y_k-1)/k-p), iar cel albastru ((x_p+1+x_p+2+...+x_k)/k-p, (y_p+1+y_p+2+...+y_k)/k-p), care coincid deoarece (x_p,y_p) = (x_k, y_k).

h3. Sobo