Diagrame Voronoi

(Categoria Algoritmi, autor Catalin Francu)

<p>Multumiri lui Mihai Popa care a cotrobait prin arhiva de mesaje si a gasit mesajul de mai jos. El se refera la principiul dualitatii si am adaugat o bucata despre diagramele Voronoi.</p>

Principiul dualitatii

<p>Daca tot n-am mai prea trimis probleme, hai sa va impartasesc si voua ceva din adanca intelepciune care mi-a fost bagata cu pompa pe gat la MIT. Scriu sub impulsul momentului, asa ca nu va asteptati la prea multa coerenta.</p>

<p>Incep cu observatia ca "Geometrie Computationala" nu suna prea romaneste, insa pe de alta parte "Geometrie Analitica" nu suna prea corect, fiindca nu e totuna cu ce se face (facea?) in clasa a XI-a de liceu.</p>

<p>Sa pornim de la urmatoarea problema: Avem o colectie de N drepte in plan, oricare doua neconfundate, astfel incat nici una din ele nu trece prin origine. Sa se indice care din drepte sunt vizibile din origine.</p>

<p>Un algoritm decent functioneaza in O(N^2), astfel: ia fiecare dreapta di, si o intersecteaaza cu fiecare din celelalte drepte dj. In acest fel, di se imparte in doua semidrepte, din care numai una este vizibila din origine, cealalta fiind obturata de catre dj. In felul acesta tot intersectam semidrepte peste semidrepte, si vedem daca in final ramanem cu vreun segment vizibil din origine. Desigur, pe parcurs apare tot tacamul de cazuri particulare: drepte verticale, drepte orizontale, erori de calcul, radicali, distante etc. Sper ca v-am scarbit destul ca sa vreti sa aflati si o implementare mai eleganta.</p>

<p>Vom prezenta un algoritm foarte dragut si foarte cunoscut (in final) care rezolva problema in O(N log N). Facem intai urmatoarea conventie. De vreme ce dreptele nu trec prin origine, ele au ecuatii de forma ax+by+c=0, cu c<>0. Atunci le vom aduce pe toate la forma ax+by+1=0 (evident, impartind prin c).</p>

Si-acum sa vedem ce este principiul dualitatii. El asociaza fiecarei drepte de forma ax+by+1=0 un punct de coordonate (a,b) in plan. Vom numi spatiul dreptelor "spatiu primal", iar spatiul punctelor corespunzatoare "spatiu dual". De aici decurg o multime de observatii foarte interesante, din care nici eu nu-mi aduc aminte decat cateva:

1. Oricarui punct din spatiul dual ii corespunde o dreapta in spatiul primal, si ce este mai interesant, oricaror doua puncte distincte din spatiul dual le corespund drepte distincte in spatiul dual
2. Oricarei drepte din spatiul primal ii corespunde un punct in spatiul dual. Exceptia o constituie dreptele care trec prin origine, pentru ca ele au c=0 si nu pot fi normalizate. Totusi, daca extindem spatiul dual ca sa contina si puncte de la infinit, atunci fiecarei drepte care trece prin origine in spatiul primal ii corespunde un punct de la infinit in spatiul dual. Cu asta, bijectia intre cele doua spatii este completa.
3. Sa ne inchipuim acum doua drepte in spatiul primal, care se
   intersecteaza intr-un punct: ax+by+1=0, dx+ey+1=0. Fie (p,q) punctul lor
   de intersectie, care are proprietatile:

ap+bq+1=0
dp+eq+1=0

Sa dualizam acum cele doua drepte. Obtinem punctele (a,b) si (d,e). Sa analizam ecuatia dreptei care trece prin aceste doua puncte:

x-a  y-b
--- - --- = 0 (*)
d-a  e-b

Inlocuind asta in (*) si reducand numitorul (e-b) deducem:

(x-a)p/q + (y-b) = 0 ==> px+qy-(pa+qb)=0, dar pa+qb=-1, deci ecuatia
dreptei este:

px+qy+1=0 !!!