(Categoria _Algoritmi_, autor _Catalin Francu_)
<p>Multumiri lui Mihai Popa care a cotrobait prin arhiva de mesaje si a gasit mesajul de mai jos. El se refera la principiul dualitatii si am adaugat o bucata despre diagramele Voronoi.</p>
Multumiri lui Mihai Popa care a cotrobait prin arhiva de mesaje si a gasit mesajul de mai jos. El se refera la principiul dualitatii si am adaugat o bucata despre diagramele Voronoi.
h2. Principiul dualitatii
<p>Daca tot n-am mai prea trimis probleme, hai sa va impartasesc si voua ceva din adanca intelepciune care mi-a fost bagata cu pompa pe gat la MIT. Scriu sub impulsul momentului, asa ca nu va asteptati la prea multa coerenta.</p>
Daca tot n-am mai prea trimis probleme, hai sa va impartasesc si voua ceva din adanca intelepciune care mi-a fost bagata cu pompa pe gat la MIT. Scriu sub impulsul momentului, asa ca nu va asteptati la prea multa coerenta.
<p>Incep cu observatia ca "Geometrie Computationala" nu suna prea romaneste, insa pe de alta parte "Geometrie Analitica" nu suna prea corect, fiindca nu e totuna cu ce se face (facea?) in clasa a XI-a de liceu.</p>
Incep cu observatia ca "Geometrie Computationala" nu suna prea romaneste, insa pe de alta parte "Geometrie Analitica" nu suna prea corect, fiindca nu e totuna cu ce se face (facea?) in clasa a XI-a de liceu.
<p>Sa pornim de la urmatoarea problema: Avem o colectie de N drepte in plan, oricare doua neconfundate, astfel incat nici una din ele nu trece prin origine. Sa se indice care din drepte sunt vizibile din origine.</p>
Sa pornim de la urmatoarea problema: Avem o colectie de N drepte in plan, oricare doua neconfundate, astfel incat nici una din ele nu trece prin origine. Sa se indice care din drepte sunt vizibile din origine.
<p>Un algoritm decent functioneaza in O(N^2^), astfel: ia fiecare dreapta d ~i~ , si o intersecteaaza cu fiecare din celelalte drepte d ~j~ . In acest fel, d ~i~ se imparte in doua semidrepte, din care numai una este vizibila din origine, cealalta fiind obturata de catre d ~j~ . In felul acesta tot intersectam semidrepte peste semidrepte, si vedem daca in final ramanem cu vreun segment vizibil din origine. Desigur, pe parcurs apare tot tacamul de cazuri particulare: drepte verticale, drepte orizontale, erori de calcul, radicali, distante etc. Sper ca v-am scarbit destul ca sa vreti sa aflati si o implementare mai eleganta.</p>
Un algoritm decent functioneaza in O(N^2^), astfel: ia fiecare dreapta d~i~, si o intersecteaaza cu fiecare din celelalte drepte d~j~. In acest fel, d~i~ se imparte in doua semidrepte, din care numai una este vizibila din origine, cealalta fiind obturata de catre d~j~. In felul acesta tot intersectam semidrepte peste semidrepte, si vedem daca in final ramanem cu vreun segment vizibil din origine. Desigur, pe parcurs apare tot tacamul de cazuri particulare: drepte verticale, drepte orizontale, erori de calcul, radicali, distante etc. Sper ca v-am scarbit destul ca sa vreti sa aflati si o implementare mai eleganta.
<p>Vom prezenta un algoritm foarte dragut si foarte cunoscut (in final) care rezolva problema in O(N log N). Facem intai urmatoarea conventie. De vreme ce dreptele nu trec prin origine, ele au ecuatii de forma !voronoi?ec1.bmp!, cu !voronoi?ec2.bmp!. Atunci le vom aduce pe toate la forma !voronoi?img1.bmp! (evident, impartind prin c).</p>
Vom prezenta un algoritm foarte dragut si foarte cunoscut (in final) care rezolva problema in O(N log N). Facem intai urmatoarea conventie. De vreme ce dreptele nu trec prin origine, ele au ecuatii de forma !voronoi?ec1.bmp!, cu !voronoi?ec2.bmp!. Atunci le vom aduce pe toate la forma !voronoi?img1.bmp! (evident, impartind prin c).
Si-acum sa vedem ce este principiul dualitatii. El asociaza fiecarei drepte de forma !voronoi?img1.bmp! un punct de coordonate (a,b) in plan. Vom numi spatiul dreptelor "spatiu primal", iar spatiul punctelor corespunzatoare "spatiu dual". De aici decurg o multime de observatii foarte interesante, din care nici eu nu-mi aduc aminte decat cateva:
# Oricarui punct din spatiul dual ii corespunde o dreapta in spatiul primal, si ce este mai interesant, oricaror doua puncte distincte din spatiul dual le corespund drepte distincte in spatiul primal
# Oricarei drepte din spatiul primal ii corespunde un punct in spatiul dual. Exceptia o constituie dreptele care trec prin origine, pentru ca ele au c=0 si nu pot fi normalizate. Totusi, daca extindem spatiul dual ca sa contina si puncte de la infinit, atunci fiecarei drepte care trece prin origine in spatiul primal ii corespunde un punct de la infinit in spatiul dual. Cu asta, bijectia intre cele doua spatii este completa.
# <p>Sa ne inchipuim acum doua drepte in spatiul primal, care se intersecteaza intr-un punct:
# Sa ne inchipuim acum doua drepte in spatiul primal, care se intersecteaza intr-un punct:
!voronoi?img1.bmp!
!voronoi?img2.bmp!</p>
<p>Fie (p,q) punctul lor de intersectie, care are proprietatile:
!voronoi?img2.bmp!
Fie (p,q) punctul lor de intersectie, care are proprietatile:
!voronoi?img3.bmp!
!voronoi?img4.bmp!</p>
!voronoi?img4.bmp!
Sa dualizam acum cele doua drepte. Obtinem punctele (a,b) si (d,e). Sa analizam ecuatia dreptei care trece prin aceste doua puncte:
!voronoi?ec52.bmp!(*)
Dar
!voronoi?img10.bmp!
deci ecuatia dreptei este:
!voronoi?img11.bmp! !!!
<p>Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde :) .</p>
Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde :).
# La fel se demonstreaza reciproca: doua puncte care determina o dreapta se dualizeaza in doua drepte care se intersecteaza intr-un punct.
# Generalizarea este si mai draguta: Un fascicol de drepte (pentru cei care nu prea dau pe la mate, asta inseamna o colectie de drepte care se intalnesc in acelasi punct) se dualizeaza intr-o multime de puncte, toate coliniare. Se demonstreaza folosind acelasi punct (p,q) pentru toate dreptele.
# Dar o colectie de drepte paralele? O sa radeti, dar se dualizeaza tot intr-o multime de puncte coliniare. Daca nu ma-nsel, dreapta care contine aceste puncte coliniare inteapa originea. Demonstratia se poate face fie prin calcul direct, fie observand ca in fond o colectie de
Asta cred ca deja va sugereaza ideea de rezolvare. Daca v-ati gandit la infasuratoare convexa, ati pus punctul pe y. Algoritmul este urmatorul:
* Se da multimea de drepte !voronoi?img14.bmp!
* Aducem toate dreptele la forma !voronoi?img15.bmp!, impartind prin c ~i~
* Aflam infasuratoarea convexa a multimii de puncte (a ~i~ ,b ~i~ )
* Aducem toate dreptele la forma !voronoi?img15.bmp!, impartind prin c~i~
* Aflam infasuratoarea convexa a multimii de puncte (a~i~,b~i~)
* Punctele de pe aceasta infasuratoare convexa corespund dreptelor vizibile din origine.
De ce asa? Pentru ca punctele de pe infasuratoarea convexa sunt cele mai departate de origine, deci dreptele lor duale sunt cele mai apropiate de origine. Va las placerea de a analiza cazurile particulare, de exemplu cele in care multimea de drepte nu defineste un poligon inchis in jurul originii, ci unul deschis (hint: originea nu apartine infasuratorii convexe a punctelor duale).
