!voronoi?img3.bmp!
!voronoi?img4.bmp!
<p>Sa dualizam acum cele doua drepte. Obtinem punctele (a,b) si (d,e). Sa analizam ecuatia dreptei care trece prin aceste doua puncte:

!voronoi?ec52.bmp!</p>
<p>Dar ap+bq+1=dp+eq+1 --> (d-a)p + (e-b)q = 0 --> (d-a) = -(e-b)q/p</p>

!voronoi?ec52.bmp!(*)</p>
<p>Dar</p>
!voronoi?img.bmp!

<p>Inlocuind asta in (*) si reducand numitorul (e-b) deducem:</p>

<p>(x-a)p/q + (y-b) = 0 ==> px+qy-(pa+qb)=0, dar pa+qb=-1, deci ecuatia dreptei este:</p>
<p>px+qy+1=0 !!!</p>

!voronoi?img9.bmp!
dar !voronoi?img10.bmp!
deci ecuatia dreptei este:
!voronoi?img11.bmp! !!!

<p>Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde :) .</p>
# La fel se demonstreaza reciproca: doua puncte care determina o dreapta se dualizeaza in doua drepte care se intersecteaza intr-un punct.
# Generalizarea este si mai draguta: Un fascicol de drepte (pentru cei care nu prea dau pe la mate, asta inseamna o colectie de drepte care se intalnesc in acelasi punct) se dualizeaza intr-o multime de puncte, toate coliniare. Se demonstreaza folosind acelasi punct (p,q) pentru toate dreptele.