<p>Sa pornim de la urmatoarea problema: Avem o colectie de N drepte in plan, oricare doua neconfundate, astfel incat nici una din ele nu trece prin origine. Sa se indice care din drepte sunt vizibile din origine.</p>

<p>Un algoritm decent functioneaza in O(N^2), astfel: ia fiecare dreapta di, si o intersecteaaza cu fiecare din celelalte drepte dj. In acest fel, di se imparte in doua semidrepte, din care numai una este vizibila din origine, cealalta fiind obturata de catre dj. In felul acesta tot intersectam semidrepte peste semidrepte, si vedem daca in final ramanem cu vreun segment vizibil din origine. Desigur, pe parcurs apare tot tacamul de cazuri particulare: drepte verticale, drepte orizontale, erori de calcul, radicali, distante etc. Sper ca v-am scarbit destul ca sa vreti sa aflati si o implementare mai eleganta.</p>

<p>Un algoritm decent functioneaza in O(N^2^), astfel: ia fiecare dreapta di, si o intersecteaaza cu fiecare din celelalte drepte dj. In acest fel, di se imparte in doua semidrepte, din care numai una este vizibila din origine, cealalta fiind obturata de catre dj. In felul acesta tot intersectam semidrepte peste semidrepte, si vedem daca in final ramanem cu vreun segment vizibil din origine. Desigur, pe parcurs apare tot tacamul de cazuri particulare: drepte verticale, drepte orizontale, erori de calcul, radicali, distante etc. Sper ca v-am scarbit destul ca sa vreti sa aflati si o implementare mai eleganta.</p>

<p>Vom prezenta un algoritm foarte dragut si foarte cunoscut (in final) care rezolva problema in O(N log N). Facem intai urmatoarea conventie. De vreme ce dreptele nu trec prin origine, ele au ecuatii de forma ax+by+c=0, cu c<>0. Atunci le vom aduce pe toate la forma ax+by+1=0 (evident, impartind prin c).</p>

<p>(x-a)p/q + (y-b) = 0 ==> px+qy-(pa+qb)=0, dar pa+qb=-1, deci ecuatia
dreptei este:</p>
<p>px+qy+1=0 !!!</p>

<p>Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde ( :) ).</p>

<p>Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde :) .</p>

# La fel se demonstreaza reciproca: doua puncte care determina o dreapta se dualizeaza in doua drepte care se intersecteaza intr-un punct.
# Generalizarea este si mai draguta: Un fascicol de drepte (pentru cei care nu prea dau pe la mate, asta inseamna o colectie de drepte care se intalnesc in acelasi punct) se dualizeaza intr-o multime de puncte, toate coliniare. Se demonstreaza folosind acelasi punct (p,q) pentru toate dreptele.
# Dar o colectie de drepte paralele? O sa radeti, dar se dualizeaza tot intr-o multime de puncte coliniare. Daca nu ma-nsel, dreapta care contine aceste puncte coliniare inteapa originea. Demonstratia se poate face fie prin calcul direct, fie observand ca in fond o colectie de