# Sa ne inchipuim acum doua drepte in spatiul primal, care se
intersecteaza intr-un punct: ax+by+1=0, dx+ey+1=0. Fie (p,q) punctul lor
de intersectie, care are proprietatile:

<p>ap+bq+1=0
dp+eq+1=0</p>
<p>Sa dualizam acum cele doua drepte. Obtinem punctele (a,b) si (d,e). Sa analizam ecuatia dreptei care trece prin aceste doua puncte:</p>
<p>x-a   y-b

 
ap+bq+1=0
dp+eq+1=0
 
Sa dualizam acum cele doua drepte. Obtinem punctele (a,b) si (d,e). Sa analizam ecuatia dreptei care trece prin aceste doua puncte:
 
x-a   y-b

--- - --- = 0 (*)

d-a   e-b</p>
<p>Dar ap+bq+1=dp+eq+1 --> (d-a)p + (e-b)q = 0 --> (d-a) = -(e-b)q/p</p>
<p>Inlocuind asta in (*) si reducand numitorul (e-b) deducem:</p>
<p>(x-a)p/q + (y-b) = 0 ==> px+qy-(pa+qb)=0, dar pa+qb=-1, deci ecuatia
dreptei este:</p>
<p>px+qy+1=0 !!!</p>
<p>Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde ( :) ).</p>
# La fel se demonstreaza reciproca: doua puncte care determina o dreapta se dualizeaza in doua drepte care se intersecteaza intr-un punct.
# Generalizarea este si mai draguta: Un fascicol de drepte (pentru cei care nu prea dau pe la mate, asta inseamna o colectie de drepte care se intalnesc in acelasi punct) se dualizeaza intr-o multime de puncte, toate coliniare. Se demonstreaza folosind acelasi punct (p,q) pentru toate dreptele.
# Dar o colectie de drepte paralele? O sa radeti, dar se dualizeaza tot intr-o multime de puncte coliniare. Daca nu ma-nsel, dreapta care contine aceste puncte coliniare inteapa originea. Demonstratia se poate face fie prin calcul direct, fie observand ca in fond o colectie de
drepte paralele este un fascicol de drepte care se intalnesc la infinit (Euclid sa traiasca!)
# Sa luam dreapta ax+by+1=0. Daca normalizam dreapta (impartind prin sqrt(a*a+b*b)), aflam ca distanta de la dreapta la origine este 1/sqrt(a*a+b*b). Dualizand dreapta, obtinem punctul (a,b), care este situat la distanta sqrt(a*a+b*b) de origine. Mai expresiv, daca dreapta este la distanta d de origine, punctul dual este la distanta 1/d de origine. Mai interesant este ca punctul dual, originea si piciorul perpendicularei din origine pe dreapta sunt coliniare. E destul de usor
de demonstrat, daca nu v-ati luat inca un creion si o hartie e cazul sa o faceti, altfel cred si eu ca va plictisiti :).

d-a   e-b
 
Dar ap+bq+1=dp+eq+1 --> (d-a)p + (e-b)q = 0 --> (d-a) = -(e-b)q/p
 
Inlocuind asta in (*) si reducand numitorul (e-b) deducem:
 
(x-a)p/q + (y-b) = 0 ==> px+qy-(pa+qb)=0, dar pa+qb=-1, deci ecuatia
dreptei este:
 
px+qy+1=0 !!!
 
Cu alte cuvinte, daca dreptele d1 si d2 se taie in punctul P, atunci dualizand totul obtinem punctele dual(d1) si dual(d2), care determina tocmai dreapta dual(P). Asta mai arata si ca nu e obligatoriu ca in spatiul primal sa avem drepte si in spatiul dual sa avem puncte, ci putem dualiza orice, oriunde ( :) ).