(Categoria _Matematică_, Autor _Cosmin Negruşeri_)

(toc){width: 20em}*{text-align:center} *Conţinut:*
* '_Introducere_':transformari-geometrice#introducere
** 'Translaţia':transformari-geometrice#translatia
** 'Simetria':transformari-geometrice#simetria
** 'Rotaţia':transformari-geometrice#rotatia
** 'Omotetia':transformari-geometrice#omotetia
** 'Desfăşurarea în plan':transformari-geometrice#desfasurarea-in-plan
* 'Aplicaţia 1:transformari-geometrice#aplicatia-1
 

h2(#introducere). Introducere
În acest articol vom introduce câteva noţuni legate de transformările geometrice care se pot dovedi utile în concursurile de programare.

* dacă nu este o rotaţie trivială de unghi $0$ atunci are ca punct fix centrul de rotaţie;
* nu are drepte fixe, dar are cercuri fixe centrate în centrul de rotaţie;
* două rotaţii succesive $R{~1~}(O{~1~}, alfa)$ şi $R{~2~}(O{~2~}, beta)$ se compun într-o translaţie sau o rotaţie $R{~3~}(O{~3~}, alfa + beta)$;

* în general rotaţiile nu comută;

* în general rotaţiile nu comută;
 
h3(#omotetia). Omotetia
 
Aceasta este o transformare ce scalează obiectele în funcţie de un centru de omotetie şi un raport. Un punct $P(x, y)$ transformat după o omotetie $H(O(x{~0~}, y{~0~}), k)$ (centru $O$ şi raport $k$) va avea imaginea $P’(x{~0~} + k * (x - x{~0~}), y{~0~} + k * (y - y{~0~}))$.
 
Proprietăţi:
 
* nu păstrează distanţele;
* păstrează orientarea poligoanelor;
* păstrează unghiurile;
* drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele, iar transformata unei drepte va fi paralelă cu dreapta;
* are ca punct fix centrul de omotetie;
* două omotetii succesive $H{~1~}(O{~1~}, k{~1~})$ şi $H{~2~}(O{~2~}, k{~2~})$ se compun într-o translaţie sau omotetie $H{~3~}(O{~3~}, k{~1~} + k{~2~})$;
* în general omotetiile nu comută;
 
h3(#desfasurarea-in-plan). Desfăşurarea în plan
 
Aceasta nu este o transformare geometrică propriu-zisă, ci mai mult o tehnică folositoare în rezolvarea unor probleme pe care o puteţi vedea aplicată în problemele ce urmează ...
 
*To do:* de verificat teoria de aici. :)
 
h2(#aplicatia-1). Aplicaţia 1
 
Fie două puncte $A$ şi $B$ de aceiaşi parte a unei drepte $d$. Se cere să se determine un punct $M$ pe dreapta $d$ cu proprietatea că suma $AM + MB$ e mininimă.
 
!transformari-geometrice?aplicatie-1.1.png!
 
h3. Rezolvare
 
!transformari-geometrice?aplicatie-1.2.png!
 
Ducem simetricul punctului $A$ faţă de dreapta $d$ pe care îl notăm cu $A’$. Oricare ar fi un punct $N$ pe dreapta $d$, $AN = A’N$ pentru că triunghiul $AA’N$ este isoscel având dreapta $d$ şi înălţime şi mediană. Astfel, avem că $AN + NB = A’N + NB$, deci pentru ca să minimizăm suma $AM + MB$ trebuie de fapt să minimizăm suma $A’M + MB$. Punctele $A’$ şi $B$ sunt situate de părţi diferite ale dreptei, deci punctul $M$ trebuie situat la intersecţia segmentului $A’B$ cu dreapta $d$.