h2(#aplicatia-13). Aplicaţia 13

bq. Se dă un triunghi $ABC$ şi trei drepte $d{~1~}$, $d{~2~}$ şi $d{~3~}$ care nu sunt paralele între ele două câte două. Se cere să se determine un triunghi înscris în triunghiul $ABC$ ce are laturile paralele cu dreptele $d{~1~}$, $d{~2~}$ respectiv $d{~3~}$.

!< transformari-geometrice?aplicatie-13.1.png 75%!

!< transformari-geometrice?aplicatie-13.1.png 55%!

bq. Se dă un triunghi $ABC$ şi trei drepte $d{~1~}$, $d{~2~}$ şi $d{~3~}$ care nu sunt paralele între ele două câte două. Se cere să se determine un triunghi înscris în triunghiul $ABC$ ce are laturile paralele cu dreptele $d{~1~}$, $d{~2~}$ respectiv $d{~3~}$.

h3. Rezolvare:
Construim un triunghi $D’E’F’$ ce are laturile paralele cu dreptele $d{~1~}$, $d{~2~}$ şi $d{~3~}$, iar punctul $E’$ aparţine semidreptei $[AC$ şi punctul $F’$ aparţine semidreptei $[AB$. Acum fixăm un punct $D$ în intersecţia lui $AD’$ cu $BC$ şi în acest punct ducem două drepte paralele cu dreptele $d{~1~}$ şi $d{~2~}$. Aceste drepte vor intersecta laturile triunghiului în punctele $F$ şi $E$. În omotetia de centru $A$ şi raport $AD / AD’$ triunghiul $D’E’F’$ se transformă în $DEF$, care este un triunghi ce respectă condiţia din enunţ.

 
h2(#aplicatia-14). Aplicaţia 14: 'Triangular Square':'http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=82&page=show_problem&problem=1666'
 
bq. Se dă un triunghi $ABC$. Vrem să găsim aria maximă a unui pătrat situat în întregime în interiorul triunghiului. În imagine avem un pătrat în interiorul unui triunghi, dar acesta nu este de arie maximă. De exemplu într-un triunghi cu laturile de dimensiuni $6$, $6$ şi $6$, aria maximă este $7.754051$.
 
!> transformari-geometrice?aplicatie-14.1.png 75%!
 
h3. Rezolvare:
 
Pornim de la presupunerea intuitivă că cel mai mare pătrat ce se poate plasa în interiorul unui triunghi trebuie să aibă una din laturi pe o latură a triunghiului. Astfel, pentru a determina pătratul de arie maximă avem trei posibilităţi de aşezare pe laturile triunghiului. Pentru o aşezare fixată putem afla uşor pătratul maxim din interiorul triunghiului ce are două varfuri pe latura $BC$. O modalitate ar fi să desenăm un pătrat $M’N’P’Q’$ ce are punctele $Q’$ şi $P’$ pe semidreapta $[BC$ şi punctul $M’$ pe semidreapta $[BA$. După care, luăm punctul $N$ ca intersecţie a dreptei $BN’$ cu $AC$. Găsim pătratul $MNPQ$ ca fiind omoteticul pătratului $M’N’P’Q’$ după omotetia de centru $B$ şi raport $BN / BN’$. Altă modalitate de construcţie a pătratului ar fi cea prezentată în a doua figură, adică: se construieşte în exterior, pe latura $BC$ a triunghiului, un pătrat $BCQ’P’$, se determineă punctele $P$ şi $Q$ ca şi intersecţii al segmentului $AQ’$ cu $BC$ şi al segmentului $AP’$ cu $BC$. Pătratul $MNPQ$ va fi omoteticul pătratului $BCP’Q’$, după omotetia de centru $A$ şi raport $QP / BC$.