Axele de simetrie ale sistemului de puncte trebuie să fie şi axe de simetrie pentru poligonul ce reprezintă înfăşurătoarea convexă a acestor puncte. Dacă vrem să găsim axele de simetrie ale unui poligon convex, observăm că dacă el are număr par de vârfuri, atunci trebuie ca acestea sau să fie mediatoare pentru o latură a poligonului, sau să treacă prin două vârfuri. Dacă el are număr impar de laturi atunci axele de simetrie trebuie să fie mediatoare pentru o latură şi să treacă printr-un punct al poligonului. Astfel, după calcularea în $O(N log N)$ a înfăţurătorii convexe, putem afla în timp $O(N)$ care sunt candidate la axa de simetrie a poligonului. Verificarea faptului dacă o dreaptă este axă de simetrie pentru un set de puncte o putem face în $O(N)$ folosindu-ne de o tabelă de dispersie. Algoritmul de determinare a axelor de simetrie are complexitatea finală $O(N^2^)$.

h2(#aplicatia-11). Aplicaţia 11: (ONM 1997, clasa a VIII-a)

h2(#aplicatia-11). Aplicaţia 11 (ONM 1997, clasa a VIII-a)

bq. Se dă un paralelipiped $ABCDEFGH$, cu $AB = 5$, $BC = 4$, $AE = 3$. Se cere să determinăm poziţia unui punct $M$ ce aparţine segmentului $BF$ cu proprietatea că suma $AM + MG$ este minimă.

!> transformari-geometrice?aplicatie-11.2.png 55%!

Pentru această problemă ne putem imagina o soluţie analitică în care vrem să minimizăm funcţia $AM + MG$ care depinde de coordonata $y$, dar o asemenea rezolvare nu ar fi fost accesibilă unui elev de clasa a VIII-a. O soluţie elegantă şi simplă este următoarea. Desfăşurăm în plan feţele $ABFE$ şi $BCGD$. Astfel se formează dreptunghiul $ACGE$, unde $AC = 9$ şi $AE = 3$. Acum este clar că punctul $M$ trebuie să fie intersecţia diagonalei $AG$ cu $FB$. De aici putem găsi foarte uşor că $BM = 5/3$.

Pentru această problemă ne putem imagina o soluţie analitică în care vrem să minimizăm funcţia $AM + MG$ care depinde de coordonata $y$, dar o asemenea rezolvare nu ar fi fost accesibilă unui elev de clasa a VIII-a. O soluţie elegantă şi simplă este următoarea. Desfăşurăm în plan feţele $ABFE$ şi $BCGD$. Astfel se formează dreptunghiul $ACGE$, unde $AC = 9$ şi $AE = 3$. Acum este clar că punctul $M$ trebuie să fie intersecţia diagonalei $AG$ cu $FB$. De aici putem găsi foarte uşor că $BM = 5/3$.
 
h2(#aplicatia-12). Aplicaţia 12 (TopCoder)
 
bq. Pe partea frontală a unui zgârie-nor foarte înalt, ce are forma unui paralelipiped, cu baza un pătrat de latura $200$ de metri, este situat un păianjen. Acesta vrea să mănânce o muscă situată pe faţa din dreapta a zgârie-norului. Ştiind coordonatele păianjenului şi ale muştei vi se cere să determinaţi drumul cel mai scurt pe care îl poate face păianjenul ca să mănânce musca iar întreaga deplasare a lui să fie pe suprafaţa zgârie-norului (coordonatele gângăniilor se măsoară relativ la colţul stânga sus al feţei pe care se află fiecare).
 
h3. Rezolvare:
 
Desfăşurăm paralelipipedul în toate modurile posibile (aşa cum vedem în figură) şi alegem dintre toate drumurile soluţia optimă.
 
!> transformari-geometrice?aplicatie-12.1.png 55%!
 
!< transformari-geometrice?aplicatie-12.2.png 55%!