Aceasta este o transformare care roteşte punctele în sens trigonometric în jurul unui punct numit centru de rotaţie după un unghi fixat numit unghi de rotaţie. Dacă avem rotaţia de centru $O(x{~0~}, y{~0~})$ şi unghi $alfa$, atunci imaginea unui punct $P(x, y)$ va fi $P’(x{~0~} + (x – x{~0~}) * cos(alfa)  - (y – y{~0~}) * sin(alfa), y{~0~} + (x – x{~0~}) * sin(alfa)  + (y – y{~0~}) * cos(alfa))$.
Proprietăţi:

* păstrează distanţele;
* păstrează orientarea poligoanelor;
* păstrează unghiurile;

!> transformari-geometrice?aplicatie-3.2.png 70%!
Luăm un punct $M$ pe baza $BC$ a triunghiului $ABC$, un punct $P$ pe latura $AB$ şi un punct $N$ pe latura $AC$. Dacă avem $M’$ simetricul lui $M$ faţă de $AB$ şi $M’’$ simetricul lui $M$ faţă de $AC$, atunci $MN + NP + PM = M’’N + NP + PM’$. Ca să minimizăm această sumă, punctele $P$ şi $N$ trebuie să fie la intersecţia segmentului $M’M’’$ cu laturile $AB$, respectiv $AC$. Perimetrul triunghiului $MNP$ va fi egal cu lungimea segmentului $M’M’’$. Observăm că unghiul $M’AM’’$ are măsura egală cu $2 * măsura unghiului BAC$ şi că triunghiul $M’AM’’$ e isoscel de latură egală cu $AM$. Pentru ca $M’M’’$ să aibă lungimea minimă trebuie ca $AM$ să fie cât mai scurt. Acest segment este minim atunci când $M$ este piciorul înalţimii din $A$. La fel putem să deducem că $N$ este piciorul înălţimii din $B$, iar $P$ este piciorul înălţimii din $C$. Astfel, soluţia de perimetru minim este triunghiul ortic.

 
h2(#aplicatia-4). Aplicaţia 4: 'PolyLine':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=4509 (TopCoder)
 
bq. Se consideră un dreptunghi cu colţurile de coordonate $(0, 0)$ , $(a, 0)$, $(a, b)$, $(0, b)$. Mai considerăm două puncte $A$ şi $B$ de coordonate $(x{~1~}, y{~1~})$ şi $(x{~2~}, y{~2~})$ în interiorul dreptunghiului. Se cere să se determine lungimea minimă a unei linii frânte ce porneşte din $A$ ajunge în $B$ şi intersectează fiecare latură a dreptunghiului. În figura de mai jos, avem un dreptunghi de dimensiuni $4 x 3$ şi trei posibilităţi de a plasa două puncte în interiorul dreptunghiului, împreună cu soluţiile optime. Rezultatele pentru cele trei exemple sunt: $7.8102$, $8.6023$, respectiv $9.4339$.
 
!transformari-geometrice?aplicatie-4.1.png 70%!
 
h3. Rezolvare:
 
!transformari-geometrice?aplicatie-4.2.png 70%!
 
Este evident că o soluţie optimă va fi formată din cinci segmente. Putem încerca toate ordinele posibile ale drumului liniei frânte, fiind $4! = 24$ asemenea ordini. Pentru fiecare ordine căutăm drumul optim. Acesta poate fi găsit folosind trucul prezentat în problemele anterioare. Să luăm un exemplu: pentru punctele $A(1, 2)$ şi $B(1,3)$ şi dreptunghiul de dimensiuni $4$ şi $3$, luăm punctele $M, N, P, Q$ pe laturile din stânga, jos, dreapta respectiv sus ale dreptunghiului astfel încât să minimizăm suma $AM + MN + NP + PQ + QB$. Acum, vom duce simetricul lui $A$, notat cu $A’$, faţă de latura din stânga şi simetricul lui $B$, notat cu $B’$, faţă de latura de sus. Avem că $AM = A’M$ şi $QB = QB’$. Deci, ca să minimizăm suma $AM + MN + NP + PQ + QB$ trebuie să minimizăm suma $A’M + MN + NP + PQ + QB’$. Vom duce simetricul lui $A’$, notat prin $A’’$, faţă de latura de jos, şi simetricul lui $B’$, notat prin $B’’$, faţă de latura din dreapta. Avem că $A’M + MN <= A’’N$ şi că $PQ + QB’ <= QB’’$, deci obţinem că pentru a minimiza suma $AM + MN + NP + PQ + QB$ trebuie să minimizăm suma $A’’M + MN + NB’’$. Putem realiza acest obiectiv dacă $M$ şi $N$ vor fi intersecţiile segmentului $A’’B’’$ cu latura de jos, respectiv latura din dreapta a dreptunghiului, iar soluţia este exact distanţa de la $A’’$ la $B’’$.