Teoria jocurilor

(Categoria Teoria jocurilor, Autori Filip Cristian Buruiana, Vlad Tudose, Victor Rusu)

Notiuni de baza

Prin joc se intelege un sir de decizii (actiuni, mutari), luate de parti ale caror interese se ciocnesc. Jocurile studiate in acest articol sunt cele care au doi parteneri. De asemenea, toate jocurile analizate sunt jocuri cu mutari libere: la fiecare pas, jucatorul aflat la mutare poate alege sa efectueze una in mod constient, in functie de regulament si de situatia jocului la momentul respectiv. Decizia nu este constransa de niciun factor aleator, precum zaruri, carti de joc sau monede.
Se spune ca un jucator are strategie sigura de castig daca acesta va castiga, indifierent de modul in care ar incerca adversarul sa ii impiedice victoria. Daca un joc respecta toate cele cinci conditii de mai jos si unul dintre jucatori alege intotdeauna strategia cea mai buna, atunci rezultatul este predeterminat:

• Se termina dupa un numar finit de pasi
• Nu contine un element intamplator introdus de zaruri, carti de joc, etc.
• Este un joc cu informatie completa, in care un jucator inainte de a executa o mutare cunoaste rezultatele tuturor mutarilor precedente
• Un jucator poate vedea toate mutarile adversarului
• Jucatorii muta alternativ

Jocul NIM

Numere Sprague-Grundy

Majoritatea jocurilor impartiale se pot reduce la urmatorul joc: "Se considera un graf orientat aciclic care contine pioni in anumite noduri. Cei doi jucatori muta alternativ. Prin mutare se intelege miscarea unui pion aflat in nodul x intr-un nod y, astfel incat sa existe un arc care iese din nodul x si intra in nodul y. Jucatorul care nu mai poate muta pierde."

De exemplu, pentru graful din figura de mai sus, daca exista doi pioni, unul in nodul 1 si celalalt in nodul 2, primul jucator aflat la mutare are strategie sigura de castig.

Cum graful este aciclic, jocul este finit si are intotdeauna un castigator. Daca in graf exista un singur pion, castigatorul poate fi determinat prin metoda programarii dinamice. Astfel, win_x va fi true daca si numai daca primul jucator aflat la mutare are strategie de castig atunci cand pionul se afla in nodul x. Astfel, win_x = true daca si numai daca exista un nod y astfel incat sa existe arc intre x si y si win_y = false. In caz contrar, win_x = false. Pentru exemplul de mai sus, atunci cand avem un singur pion, win₂ = true, iar win₁ si win₄ vor fi false. Valorile vectorului win se vor calcula in ordinea din sortarea topologica a nodurilor, in complexitate O(N + M), unde N este numarul de noduri iar M numarul de muchii din graful dat.

Folosind teoria dezvoltata independent de Roland Percival Sprague (1936) si Patrick Michael Grundy (1939), putem reduce complexitatea jocului cu mai multi pioni la complexitatea analizei jocului cu un pion. Ca in algoritmul de programare dinamica de mai sus, se incearca determinarea pozitiilor castigatoare si a celor necastigatoare pentru un singur pion.

Definitie: Functia Sprague-Grundy pentru un graf G = (V, E) este o functie mex definita pe V cu valori in multimea numerelor naturale, unde mex(x) = minim(n ≥ 0 |n diferit de g(y), oricare ar fi y vecin al lui x).

Altfel spus, valoarea Sprague-Grundy pentru un nod x al grafului aciclic dat este cel mai mic numar natural care nu este atribuit niciunui vecin al nodului x. Valorile Sprague-Grundy pentru nodurile grafului de mai jos sunt scrise cu rosu in dreptul fiecarui nod.