1. exista un joc $i$ astfel incat {$w(x{~i~}) = SP$}
2. pentru orice joc $i$, {$w(x{~i~})$} este numar natural. In plus, {$w(x{~1~}) xor w(x{~2~}) xor ... xor w(x{~p~}) = 0$}.

_Demonstratie_: Vom verifica daca aceasta impartire a pozitiilor este corecta. Toate pozitiile terminale x au un subjoc xi care este SP, altfel s-ar mai putea efectua mutari. Daca un jucator este intr-o pozitie pierzatoare atunci w(x) = SP sau {$w(x{~1~}) xor w(x{~2~}) xor ... xor w(x{~p~}) = 0$}. Primul caz a fost analizat mai sus. Daca un jucator muta in orice subjoc k atunci fie va muta intr-o pozitie supercastigatoare in acel joc, fie va muta intr-o pozitie y cu w(y) ≠ w(xk). In abele cazuri va muta in pozitii castigatoare.

_Demonstratie_: Vom verifica daca pentru aceasta impartire sunt indeplinite conditiile pentru $P$-pozitii si $N$-pozitii, prezentate 'aici':teoria-jocurilor/notiuni#pozitii. Daca exista un joc $i$ astfel incat {$w(x{~i~}) = SP$}, atunci starea $x$ este una terminala si este de pierdere. Mai mult, din orice pozitie pierzatoare neterminala conform impartirii de mai sus, oricum am efectua o mutare, vom ajunge intr-o pozitie castigatoare.
 
Toate pozitiile terminale x au un subjoc xi care este SP, altfel s-ar mai putea efectua mutari. Daca un jucator este intr-o pozitie pierzatoare atunci w(x) = SP sau {$w(x{~1~}) xor w(x{~2~}) xor ... xor w(x{~p~}) = 0$}. Primul caz a fost analizat mai sus. Daca un jucator muta in orice subjoc k atunci fie va muta intr-o pozitie supercastigatoare in acel joc, fie va muta intr-o pozitie y cu w(y) � w(xk). In abele cazuri va muta in pozitii castigatoare.

Daca un jucator este intr-o pozitie castigatoare atunci w(x) = SC sau w(x1) xor w(x2) xor ... xor w(xp) diferit de {$0$}. In primul caz va exista un subjoc xk astfel incat w(xk) = SC. Un jucator va putea muta in acest subjoc intr-o pozitie superpierzatoare. Daca suma nim a w-numerelor subjocurilor este diferita de 0 atunci un jucator poate gasi cu usurinta o mutare care sa o modifice in 0, procedand similar jocului Nim.

h4. Relatia dintre w-numere si numerele Sprague-Grundy

h4. Aplicatie pe jocul NIM pe nivele

p{margin:1em; padding: 0.5em; height: 45px; border-top: 1px solid silver;}=.