Se poate demonstra prin inductie dupa $n$ ca valoarea asociata nodului $n$ este {$n modulo 4$}. Pentru {$0 &le; n &le; 3$} afirmatia este adevarata. Presupunem afirmatia adevarata pentru orice {$m < n$}. Din gramada de $n$ obiecte pot fi luate unul, doua sau trei obiecte, deci valoarea pentru $n$ nu poate fi niciuna din valorile pentru {$n-1$}, {$n-2$} si {$n-3$}. Valoarea {$n modulo 4$} este deocamdata cea mai mica valoare care nu este inca eliminata si poate corespunde gramezii cu $n$ obiecte. Este usor de aratat ca aceasta valoare nu va fi eliminata. Presupunem prin reducere la absurd ca valoarea ar fi eliminata, deci putem alege un numar prim $p$ de obiecte din cele $n$ astfel incat {$(n-p) modulo 4 = n modulo 4$}, echivalent cu {$p modulo 4 = 0$}, fals, deoarece $p$ era un numar prim. In concluzie, afirmatia pentru $n$ este adevarata si, conform principiului inductiei matematice, este adevarata pentru orice $n$ numar natural. In concluzie, valoarea Sprague-Grundy pentru nodul $n$ este {$n modulo 4$}.

Coreland toate observatiile de mai sus, primul jucator castiga daca si numai daca {$(x{~1~} mod 4) xor (x{~2~} mod 4) ... xor (x{~N~} mod 4)$} este diferit de {$0$}.

Codul C++ care rezolva problema este prezentat mai jos:
== code(cpp) |
for (i = 1, S = 0; i <= N; ++i)
     S ^= (x[i] % 4);
if (S != 0) printf("Primul jucator castiga");
else printf("Al doilea jucator castiga");
==

h3. 2. 'Cartonase':problema/cartonase, concursul national .campion 2007-2008, clasele XI-XII
 
Fie $N$ cartonase asezate in linie dreapta pe o masa si doi jucatori care muta alternativ. Fiecare cartonas are o fata colorata in rosu, iar cealalta in albastru. O mutare consta in alegerea unui cartonas cu fata rosie in sus si intoarcerea lui. In plus, daca doreste, cel care e la mutare poate sa isi aleaga orice alt cartonas (indiferent de culoarea fetei care este in sus) care se afla la stanga celui ales initial si sa il intoarca. Stiind culorile fetelor care sunt in sus, sa se precizeze care jucator castiga.
 
h3. 3. 'A Coloring Game':http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=328, concurs regional, Rusia, 2007
 
h3. 4. Triomino, Bytecode, 2008.
 
!>teoria-jocurilor/probleme?triomino.jpg!
Fie o tabla cu doua linii si $N$ coloane si doi jucatori care muta alternativ. La fiecare pas, jucatorul aflat la mutare aseaza pe tabla o piesa de forma celei din figura alaturata, astfel incat aceasta piesa sa nu se suprapuna (nici macar partial) peste alte piese deja asezate pe tabla. Atunci cand este asezata, piesa poate fi rotita cu {$90$}, {$180$} sau {$270$} de grade. Sa se precizeze care din cei doi jucatori are strategie de castig. De exemplu, pentru {$N = 3$}, primul jucator are strategie de castig. Pentru {$N = 4$} al doilea jucator are strategie de castig.
 
h3. 5. 'Chess Training':http://www.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=6866&rd=10808, Topcoder, SRM 384
 
Aplicatie pt. WTIA

h3. 3. 'Cartonase':problema/cartonase, concursul national .campion 2007-2008, clasele XI-XII

p{margin:1em; padding: 0.5em; height: 45px; border-top: 1px solid silver;}=.
'Notiuni de baza':teoria-jocurilor | 'Jocul NIM':teoria-jocurilor/jocul-nim | 'Numere Sprague-Grundy':teoria-jocurilor/numere-SG |