Probabil cel mai cunoscut joc impartial este jocul {$NIM$}. In acest joc, se considera $N$ gramezi, fiecare gramada avand un numar de pietre. La fiecare pas, jucatorul aflat la mutare elimina un numar nenul de pietre (eventual toate) dintr-o singura gramada. Jucatorii muta alternativ. Castigatorul este cel care ia ultimele pietre.

h4. Operatia _exclusive-or_

De obicei, jocul $NIM$ se joaca cu $3$ gramezi de pietre, insa strategia de castig este aceeasi indiferent de numarul gramezilor. Pentru a determina aceasta strategie ne vom folosi de operatia _xor_ ({_exclusive or_}) si proprietatile ei. Aceasta operatie se realizeaza prin operatorul $^$ in C/C++, si prin $xor$ in Pascal. Ca operatie pe biti, ea poate fi interpretata ca adunare in baza $2$ fara transport, dupa cum reiese din tabelul urmator:

!>teoria-jocurilor/jocul-nim?tabel.jpg 80%!
 
De obicei, jocul $NIM$ se joaca cu $3$ gramezi de pietre, insa strategia de castig este aceeasi indiferent de numarul gramezilor. Pentru a determina aceasta strategie ne vom folosi de operatia _xor_ ({_exclusive or_}) si proprietatile ei. Aceasta operatie se realizeaza prin operatorul $^$ in C/C++, si prin $xor$ in Pascal. Ca operatie pe biti, ea poate fi interpretata ca adunare in baza $2$ fara transport, dupa cum reiese din tabelul alaturat.

<center>!teoria-jocurilor/jocul-nim?tabel.jpg!</center>

De exemplu, $1 xor 7 xor 5 = 3$, deoarece avem:

______________
        {${@(011)@}{~2~} = 3$}

h4. Strategia de castig
 

Pe baza operatiei _xor_, strategia de castig pentru $NIM$ poate fi formulata conform urmatoarei teoreme:
_Teorema_: Fie $N$ gramezi. Prima gramada are {$x{~1~}$} pietre, cea de a doua {$x{~2~}$}, si asa mai departe, pana la ultima care are {$x{~N~}$} pietre. O astfel de pozitie este pierzatoare in jocul de $NIM$ daca si numai daca _suma-xor_ a numerelor de pietre din gramezi este {$0$}, adica daca {$x{~1~} xor x{~2~} ... xor x{~N~} = 0$}.