h2(#nim). Jocul NIM

h2(#nim). Jocul NIM
 
Probabil cel mai cunoscut joc impartial este jocul de {$NIM$}. In acest joc, se considera $N$ gramezi, fiecare gramada avand un numar de pietre. La fiecare pas, jucatorul aflat la mutare elimina un numar nenul de pietre (eventual toate) dintr-o singura gramada. Jucatorii muta alternativ. Castigatorul este cel care ia ultimele pietre.
 
De obicei, jocul NIM se joaca cu $3$ gramezi de pietre, insa strategia de castig este aceeasi indiferent de numarul gramezilor. Pentru a determina aceasta strategie vom folosi urmatoarea teorema:
 
_Teorema_: Fie $N$ gramezi. Prima gramada are {$x{~1~}$} pietre, cea de a doua {$x{~2~}$}, si asa mai departe, pana la ultima care are {$x{~N~}$} pietre. O astfel de pozitie este pierzatoare in jocul de $NIM$ daca si numai daca _suma-xor_ a numerelor de pietre din gramezi este {$0$}, adica daca {$x{~1~} xor x{~2~} ... xor x{~N~} = 0$}.
 
Pentru a demonstra aceasta teorema, trebuie sa aratam ca dintr-o stare cu _suma-xor_ egala cu $0$, prin orice mutare am face, nu putem ajunge decat intr-o stare cu suma-xor nenula, si ca dintr-o stare cu suma-xor nenula putem efectua o mutare in mod convenabil astfel incat sa ajungem intr-o stare cu suma-xor 0.