<tex>x \equiv a_2 (mod\ n_2)</tex>.
Cu alte cuvinte, sistemul si noua ecuatie sunt echivalente.

Daca deteriminam valoarea <tex>x</tex> minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor <tex>n_1, n_2, ..., n_k</tex>. Din <tex>n_1 * b_1 + a_1 = n_2 * b_2 + a_2</tex> se obtine <tex>n_1 * b_1 - n_2 * b_2 = a_2 - a_1</tex>. Fie <tex>d = cmmdc(n_1, n_2)</tex>. Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile <tex>c_1</tex> si <tex>c_2</tex> astfel incat <tex>n_1 * c_1 + n_2 * c_2 = d</tex>. Amplificand cu <tex>(a_2 - a_1) / d</tex> se obtine: <tex>n_1 * c_1 * (a_2 - a_1) / d + n_2 * c_2 * (a_2 - a_1) / d = a_2 - a_1</tex>. Am putea fi tentati sa credem ca <tex>b_1 = c_1 * (a_2 - a_1) / d</tex> si <tex>b_2 = c_2 * (a_2 - a_1)</tex>, dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie. Fie <tex>h = cmmmc(n_1, n_2)</tex>, valoarea minima pentru care, daca <tex>x</tex> este solutie, atunci si <tex>x + h</tex> este solutie (cu alte cuvinte, <tex>h</tex> este perioada). Notand <tex>l = (a_2 - a_1) / d</tex>, observam ca <tex>n_1 * c_1 * l - n_2 * c_2 * l + k * h - k * h = n_1 * (c_1 * l + k * h / n_1) - n_2 * (c_2 * l + k * h/ n_2)</tex> satisface sistemul. Dorim sa gasim cea mai mica solutie, deci valoarea <tex>c_1 * l + k * h / n_1</tex> trebuie sa fie cat mai mica posibil. Fie <tex>m_1 = c_1 * l + k * h / n_1</tex>, iar <tex>n_1 * m_1 + b_1</tex> cea mai mica valoare care satisface sistemul. Stim ca <tex>n_1 * m_1 + b_1 < h</tex> si exista o singura solutie mai mica decat <tex>h</tex>. Avem <tex>h / n_1 > m_1 \geq 0</tex>, deci <tex>m_1 = (c_1 * l)\ mod\ (h / n_1)</tex>. Sistemul format din cele doua ecuatii este satisfacut pentru valorile <tex>x = cmmmc(n_1, n_2) * i + n_1 * m_1 + b_1</tex>, pentru <tex>i \geq 0</tex>. Sistemul este astfel echivalent cu <tex>x \equiv n_1 * m_1 + b_1 (mod\ cmmmc(n_1, n_2))</tex>.

Daca deteriminam valoarea <tex>x</tex> minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor <tex>n_1, n_2, ..., n_k</tex>. Din <tex>n_1 * b_1 + a_1 = n_2 * b_2 + a_2</tex> se obtine <tex>n_1 * b_1 - n_2 * b_2 = a_2 - a_1</tex>. Fie <tex>d = cmmdc(n_1, n_2)</tex>. Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile <tex>c_1</tex> si <tex>c_2</tex> astfel incat <tex>n_1 * c_1 + n_2 * c_2 = d</tex>. Amplificand cu <tex>(a_2 - a_1) / d</tex> se obtine: <tex>n_1 * c_1 * (a_2 - a_1) / d + n_2 * c_2 * (a_2 - a_1) / d = a_2 - a_1</tex>. Am putea fi tentati sa credem ca <tex>b_1 = c_1 * (a_2 - a_1) / d</tex> si <tex>b_2 = c_2 * (a_2 - a_1)</tex>, dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie.
 
Fie <tex>h = cmmmc(n_1, n_2)</tex>, valoarea minima pentru care, daca <tex>x</tex> este solutie, atunci si <tex>x + h</tex> este solutie (cu alte cuvinte, <tex>h</tex> este perioada). Notand <tex>l = (a_2 - a_1) / d</tex>, observam ca <tex>n_1 * c_1 * l - n_2 * c_2 * l + k * h - k * h = n_1 * (c_1 * l + k * h / n_1) - n_2 * (c_2 * l + k * h/ n_2)</tex> satisface sistemul. Dorim sa gasim cea mai mica solutie, deci valoarea <tex>c_1 * l + k * h / n_1</tex> trebuie sa fie cat mai mica posibil. Fie <tex>m_1 = c_1 * l + k * h / n_1</tex>, iar <tex>n_1 * m_1 + b_1</tex> cea mai mica valoare care satisface sistemul. Stim ca <tex>n_1 * m_1 + b_1 < h</tex> si exista o singura solutie mai mica decat <tex>h</tex>. Avem <tex>h / n_1 > m_1 \geq 0</tex>, deci <tex>m_1 = (c_1 * l)\ mod\ (h / n_1)</tex>. Sistemul format din cele doua ecuatii este satisfacut pentru valorile <tex>x = cmmmc(n_1, n_2) * i + n_1 * m_1 + b_1</tex>, pentru <tex>i \geq 0</tex>. Sistemul este astfel echivalent cu <tex>x \equiv n_1 * m_1 + b_1 (mod\ cmmmc(n_1, n_2))</tex>.

Pentru a rezolva un sistem de ecuatii cu mai mult de doua necunoscute este suficient sa aplicam succesiv operatiile descrise mai sus, reducand perechile de ecuatii la una singura echivalenta, pana cand ramane o singura ecuatie modulara.
Limbajele de programare evalueaza gresit operatiile de forma $*a mod n*$ , atunci cand $a$ este un numar intreg negativ. Pentru a evita neplacerile ar trebui implementata o functie proprie pentru operatia modulo. Un exemplu este prezentat in continuare: