Sa demonstram mai intai ca acesta valoare <tex>x</tex> satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice <tex>i \in \{1, 2, ..., k\}</tex>, <tex>x \equiv a_i(mod\ n_i)</tex>. Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea <tex>((a_1 * M_1 * x_1 + a_2 * M_2 * x_2 + ... + a_k * M_k * x_k)\ mod\ n)\ mod\ n_i = a_i</tex>, <tex>\forall i \in \{1, 2, ..., k\}</tex>. Datorita faptului ca <tex>n_i | n</tex>, avem <tex>(a_1 * M_1 * x_1 + a_2 * M_2 * x_2 + ... + a_k * M_k * x_k)\ mod\ n_i = a_i</tex>. Stim ca <tex>M_i = n / n_i</tex>, <tex>\forall j \neq i</tex>, <tex>M_j\ mod\ n_i = 0</tex>, deci <tex>\forall j \neq i</tex>, <tex>(a_j * M_j * x_j)\ mod\ n_i = 0</tex>. Este suficient sa demonstram ca <tex>(a_i * M_i * x_i)\ mod\ n_i = a_i \Leftrightarrow (a_i * (M_i * x_i)\ mod\ n_i)\ mod\ n_i = a_i</tex>. Folosind <tex>M_i * x_i \equiv 1 (mod\ n_i)</tex> ajungem la egalitatea evidenta <tex>a_i = a_i</tex>(q.e.d.)

Mai ramane de verificat daca valoarea $x$ este unica. Fie $x^'^$ o alta solutie; avem $x < n$ si $x^'^ < n$. Daca  {$x$} <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$ si $x^'^$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$, presupunand ca $x^'^ < x$, avem $x^'^ - x$ <tex>\equiv</tex> $0 (mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ... k}$. Datorita faptului ca numerele $n{~i~}$ sunt relativ prime, rezulta ca $x^'^ - x = k {*} n$, $k$ <tex>\in</tex> $Z^*^$ , deci $x^'^ - x$ <tex>\geq</tex>$n$, ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r. Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.

Mai ramane de verificat daca valoarea <tex>x</tex> este unica. Fie <tex>x'</tex> o alta solutie; avem <tex>x < n</tex> si <tex>x' < n</tex>. Daca <tex>x \equiv a_i (mod\ n_i)</tex> si <tex>x' \equiv a_i (mod\ n_i)</tex>, <tex>\forall i \in \{1, 2, ..., k\}</tex>, presupunand ca <tex>x' < x</tex>, avem <tex>x'-x \equiv 0 (mod\ n_i)</tex>, <tex>\forall i \in \{1, 2, ... k\}</tex>. Datorita faptului ca numerele $n{~i~}$ sunt relativ prime, rezulta ca $x^'^ - x = k {*} n$, $k$ <tex>\in</tex> $Z^*^$ , deci $x^'^ - x$ <tex>\geq</tex>$n$, ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r. Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.

Pentru calcularea inversului modular al unui numar din $Z{~n~}$ , de obicei se foloseste "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid. Evident, pentru ca acest invers sa existe, trebuie sa avem $cmmdc(a, n) = 1$. Aplicam algoritmul extins al lui Euclid si determinam $x$ si $y$ astfel incat $a {*} x + n {*} y = 1$ si obtinem $a^-1^ = x mod n$; pentru a verifica observam ca egalitatea $a^-1^ = x mod n$ este echivalenta cu $a {*} (x mod n)$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$ care, la randul sau, este echivalenta cu $a {*} x$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$. Aceasta ultima afirmatie este evident adevarata deoarece avem $a {*} x + n {*} y = 1$.
Pentru valori mici ale lui $n$, este recomandata preprocesarea "bruta" a inverselor tuturor numerelor a din $Z{~n~}$ prime cu $n$, folosind doua structuri repetitive imbricate.