Pentru inceput, sa consideram sirul $n = n{~1~}, n{~2~}, ..., n{~k~}$ ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele. *Teorema chineza a restului* (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar $a$ <tex>\in</tex> $Z{~n~}$ si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo $n{~i~}$, $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$. Cu alte cuvinte, operatiile in $Z{~n~}$ pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo $n{~i~}$. Pentru orice $a$, $b$ <tex>\in</tex> $Z{~n~}$, notam $a{~i~} = a mod n$, respectiv $b{~i~} = b mod n$, generand corespondentele    $a$ <tex>\leftrightarrow</tex> ${a{~1~} ,  a{~2~} , ..., a{~k~}}$ respectiv $b$ <tex>\leftrightarrow</tex> ${ b{~1~}, b{~2~}, ..., b{~k~}}$. Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator <tex>\circ</tex> <tex>\in</tex> {+, -, * }, $a$ <tex>\circ</tex> $b$ <tex>\leftrightarrow</tex> ${(a{~1~}$ <tex>\circ</tex> $b{~1~}) mod n{~1~}$ , $( a{~2~}$<tex>\circ</tex> $b{~2~})mod n{~2~}$ , ..., $(a{~k~}$ <tex>\circ</tex> $b{~k~}) mod n{~k~}}$ ramane o corespondenta valida.
Problema care se iveste imediat este conversia dintr-o forma in alta. Transformarea unui numar in multimea corespunzatoare este imediata. Partea mai dificila este operatia inversa, iar aceasta este problema care va fi tratata in continuare. Pentru determinarea numarului $x$ <tex>\in</tex> $Z{~n~}$, corespunzator multimii ${ a{~1~}, a{~2~}, ..., a{~k~}}$, este suficienta rezolvarea sistemului de ecuatii modulare:

 
     $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~1~}(mod n{~1~})$
 
        $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~2~}(mod n{~2~})$
 
         ...
 
        $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~k~}(mod n{~k~})$

$x$ <tex>\equiv</tex> $a{~1~}(mod n{~1~})$
$x$ <tex>\equiv</tex> $a{~2~}(mod n{~2~})$
...
$x$ <tex>\equiv</tex> $a{~k~}(mod n{~k~})$

Deoarece avem de a face cu o corespondenta biunivoca, conform teoremei, exista un singur $x$ <tex>\in</tex> $Z{~n~}$ care satisface sistemul de mai sus. Procedeul prin care se determina aceasta valoare nu este deosebit de complicat:

*  se noteaza $n = n{~1~}{*} n{~2~} {*} ... {*} n{~k~}$ si $M{~i~}= n / n{~i~}$ (deoarece oricare doua valori $n{~i~}$ si $n{~j~}$ sunt prime intre ele, avem intotdeauna $cmmdc(M ~i~, n{~i~}) = 1)$;
*  se calculeaza $x{~i~}$ , $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$ cu proprietatea $M{~i~}{*} x{~i~}$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n{~i~})$; cu alte cuvinte, avem $x{~i~}= M{~i~}-1 mod n{~i~}$ ;
*  se determina $x = (a{~1~} {*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n$.

Sa demonstram mai intai ca acesta valoare $x$ satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice $i$ <tex>\in</tex>${1, 2, ..., k}$, $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$. Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea $((a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n) mod n{~i~}= a{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$. Datorita faptului ca $n{~i~}| n$, avem $(a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Stim ca $M{~i~}= n / n{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex> $i$ , $M{~j~} mod n{~i~}= 0$, deci <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex>$i$, $(a{~j~} {*} M{~j~}{*} x{~j~}) mod n{~i~}= 0$. Este suficient sa demonstram ca $(a{~i~}{*} M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ <tex>\Leftrightarrow</tex>$(a{~i~}{*} (M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Folosind $M{~i~}{*} x{~i~}$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n{~i~})$ ajungem la egalitatea evidenta
$a{~i~}= a{~i~}$ (q.e.d.)

Sa demonstram mai intai ca acesta valoare $x$ satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice $i$ <tex>\in</tex>${1, 2, ..., k}$, $x$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$. Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea $((a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n) mod n{~i~}= a{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$. Datorita faptului ca $n{~i~}| n$, avem $(a{~1~}{*} M{~1~}{*} x{~1~}+ a{~2~}{*} M{~2~}{*} x{~2~}+ ... + a{~k~}{*} M{~k~}{*} x{~k~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Stim ca $M{~i~}= n / n{~i~}$ , <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex> $i$ , $M{~j~} mod n{~i~}= 0$, deci <tex>\forall</tex> $j$ <tex>\neq</tex>$i$, $(a{~j~} {*} M{~j~}{*} x{~j~}) mod n{~i~}= 0$. Este suficient sa demonstram ca $(a{~i~}{*} M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ <tex>\Leftrightarrow</tex>$(a{~i~}{*} (M{~i~}{*} x{~i~}) mod n{~i~}) mod n{~i~}= a{~i~}$ . Folosind $M{~i~}{*} x{~i~}$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n{~i~})$ ajungem la egalitatea evidenta $a{~i~}= a{~i~}$ (q.e.d.)

Mai ramane de verificat daca valoarea $x$ este unica. Fie $x^'^$ o alta solutie; avem $x < n$ si $x^'^ < n$. Daca  {$x$} <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$ si $x^'^$ <tex>\equiv</tex> $a{~i~}(mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ..., k}$, presupunand ca $x^'^ < x$, avem $x^'^ - x$ <tex>\equiv</tex> $0 (mod n{~i~})$, <tex>\forall</tex> $i$ <tex>\in</tex> ${1, 2, ... k}$. Datorita faptului ca numerele $n{~i~}$ sunt relativ prime, rezulta ca $x^'^ - x = k {*} n$, $k$ <tex>\in</tex> $Z^*^$ , deci $x^'^ - x$ <tex>\geq</tex>$n$, ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r. Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.

 
 Pentru calcularea inversului modular al unui numar din $Z{~n~}$ , de obicei se foloseste "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid. Evident, pentru ca acest invers sa existe, trebuie sa avem $cmmdc(a, n) = 1$. Aplicam algoritmul extins al lui Euclid si determinam $x$ si $y$ astfel incat $a {*} x + n {*} y = 1$ si obtinem $a^-1^ = x mod n$; pentru a verifica observam ca egalitatea $a^-1^ = x mod n$ este echivalenta cu $a {*} (x mod n)$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$ care, la randul sau, este echivalenta cu $a {*} x$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$. Aceasta ultima afirmatie este evident adevarata deoarece avem $a {*} x + n {*} y = 1$.
 Pentru valori mici ale lui $n$, este recomandata preprocesarea "bruta" a inverselor tuturor
numerelor a din $Z{~n~}$ prime cu $n$, folosind doua structuri repetitive imbricate.
 

Pentru calcularea inversului modular al unui numar din $Z{~n~}$ , de obicei se foloseste "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid. Evident, pentru ca acest invers sa existe, trebuie sa avem $cmmdc(a, n) = 1$. Aplicam algoritmul extins al lui Euclid si determinam $x$ si $y$ astfel incat $a {*} x + n {*} y = 1$ si obtinem $a^-1^ = x mod n$; pentru a verifica observam ca egalitatea $a^-1^ = x mod n$ este echivalenta cu $a {*} (x mod n)$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$ care, la randul sau, este echivalenta cu $a {*} x$ <tex>\equiv</tex> $1 (mod n)$. Aceasta ultima afirmatie este evident adevarata deoarece avem $a {*} x + n {*} y = 1$.
Pentru valori mici ale lui $n$, este recomandata preprocesarea "bruta" a inverselor tuturor numerelor a din $Z{~n~}$ prime cu $n$, folosind doua structuri repetitive imbricate.

h2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii modulare liniare generale

$x$ <tex>\equiv</tex> $a{~2~}(mod n{~2~})$.
Cu alte cuvinte, sistemul si noua ecuatie sunt echivalente.

Daca deteriminam valoarea $x$ minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor $n{~1~}$ , $n{~2~}$ , ..., $n{~k~}$ .
Din $n{~1~}{*} b{~1~}+ a{~1~}= n{~2~}{*} b{~2~}+ a{~2~}$ se obtine $n{~1~}{*} b{~1~}- n{~2~}{*} b{~2~}= a{~2~}- a{~1~}$ .
Fie $d = cmmdc(n{~1~}, n{~2~})$. Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile $c{~1~}$ si $c{~2~}$ astfel incat $n{~1~}{*} c{~1~}+ n{~2~}{*} c{~2~}= d$.

Sistemul este astfel echivalent cu $x$ <tex>\equiv</tex> $n{~1~}{*} m{~1~}+ b{~1~}(mod cmmmc(n{~1~}, n{~2~}))$.
Pentru a rezolva un sistem de ecuatii cu mai mult de doua necunoscute este suficient sa aplicam succesiv operatiile descrise mai sus, reducand perechile de ecuatii la una singura echivalenta, pana cand ramane o singura ecuatie modulara.

Limbajele de programare evalueaza gresit operatiile de forma $*a mod n*$ , atunci cand $a$ este un numar intreg negativ. Pentru a evita neplacerile ar trebui implementata o functie proprie pentru operatia modulo. Un exemplu este prezentat in continuare:

==code(c) |
int mod(int a, int n) {
    return a >= 0 ?

h2. Teorema chineza intr-un sistem de sharing $k$-threshold

Se considera o informatie secreta codificata intr-un numar foarte mare $N$. Pentru a-l pastra in siguranta, acesta este impartit la $n$ servere din tara. Daca $p$ servere nu functioneaza, din diverse motive, $N$ poate fi recuperat folosind $n - p$ servere ramase, atata timp cat $n - p$ <tex>\geq</tex> $k$, valoarea threshold.

Alegand $n$ numere prime $p{~1~}$ , $p{~2~}$ , ..., $p{~n~}$ , cuprinse intre $N^1/k^$ si $N^1/(k-1)^$ , $N$ poate fi determinat folosind exact $k$ servere, dar niciodata mai putine. Fiecare server $i$ primeste catul si restul impartirii lui $N$ la $p{~i~}$ . Pentru reconstituire se foloseste _t.c.r_ , obtinandu-se astfel valoarea $N$ cautata. Acest lucru este posibil deoarece alegand, fara a restrange generalitatea, primele $k$ servere, se obtine o solutie modulo $p{~1~}{*} p{~2~}{*} ... {*} p{~k~}$ .
Vom avea intotdeauna $p{~i~}> N^1/k^ {*} p{~1~}{*} p{~2~}{*} ... {*} p{~n~}> N$.
Toate solutiile vor fi de forma $x = (p{~1~}{*} p{~2~}{*} ... {*} p{~n~}) {*} i + x{~0~}$ ;

Un adversar care cunoaste $r$ secrete poate itera dupa $i$, incercand toate valorile posibile ale lui $x$.
Desi initial am putea crede ca solutia va fi gasita usor, alegand o valoare $p{~i~}$ mult mai mica decat $N^1/(k-1)^$ , solutia generala va fi de forma $x = M {*} i + x{~0~}$ , unde $M$ este mult mai mic decat $N$, aceasta lasand intrusului un numar imens de incercari, iar ghicirea valorii corecte devine practic imposibila.

h2. Bibliografie
# Th. Cormen, Ch. Leiserson, R. Rivest, Introduction to Algorithms