h2. Scurta istorie

<p>Se considera un numar de obiecte. Impartindu-le in grupuri de cate trei, raman doua negrupate. Impartindu-le in grupuri de cate cinci, raman trei. Impartindu-le in grupuri de cate sapte, raman doua. Cate obiecte sunt? Aceasta este problema enuntata de matematicianul chinez Sun-Tsu in secolul al IV-lea al erei noastre. El a demonstrat ca toate numerele naturale de forma 23 + 105 {*} k reprezinta solutiile acestei probleme. Din pacate nu putem sti daca a dezvoltat o metoda generala pentru a rezolva astfel de sisteme de ecuatii modulare. Aceasta este tema tratata in articolul care urmeaza.</p>

<p>Se considera un numar de obiecte. Impartindu-le in grupuri de cate trei, raman doua negrupate. Impartindu-le in grupuri de cate cinci, raman trei. Impartindu-le in grupuri de cate sapte, raman doua. Cate obiecte sunt? Aceasta este problema enuntata de matematicianul chinez Sun-Tsu in secolul al IV-lea al erei noastre. El a demonstrat ca toate numerele naturale de forma 23 + 105 {*} $k$ reprezinta solutiile acestei probleme. Din pacate nu putem sti daca a dezvoltat o metoda generala pentru a rezolva astfel de sisteme de ecuatii modulare. Aceasta este tema tratata in articolul care urmeaza.</p>

h2. Definitie

<p>Pentru inceput, sa consideram sirul n = n{~1~}, n{~2~}, ..., n{~k~}, .. ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele.</p>

<p>Pentru inceput, sa consideram sirul $n = n{~1~}, n{~2~}, ..., n{~k~}$ ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele.</p>

<p>*Teorema chineza a restului* (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar a <tex>\in</tex> Z{~n~} si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo n{~i~}, i <tex>\in</tex> {1, 2, ..., k}. Cu alte cuvinte, operatiile in Z{~n~} pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo n{~i~}.<p>
<p>Pentru orice a, b <tex>\in</tex> Z{~n~}, notam a{~i~} = a mod n, respectiv b{~i~} = b mod n, generand corespondentele a <tex>\leftrightarrow</tex> {a{~1~} ,  a{~2~} , ..., a{~k~}} respectiv b <tex>\leftrightarrow</tex> {b{~1~}, b{~2~}, ..., b{~k~}}. Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator <tex>\circ</tex> <tex>\in</tex> {+, -, * }, a <tex>\circ</tex> b <tex>\leftrightarrow</tex> {(a{~1~} <tex>\circ</tex> b{~1~}) mod n{~1~} , (a ~2~ <tex>\circ</tex> b ~2~ )mod n ~2~ , ..., (a ~k~ <tex>\circ</tex> b ~k~ ) mod n ~k~ } ramane o corespondenta valida.</p>
<p>Problema care se iveste imediat este conversia dintr-o forma in alta. Transformarea unui numar in multimea corespunzatoare este imediata. Partea mai dificila este operatia inversa, iar aceasta este problema care va fi tratata in continuare.</p>