h2. Definitie

<p>Pentru inceput, sa consideram sirul n = n ~1~ , n ~2~ , ..., n ~k~ , ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele.</p>
<p>*Teorema chineza a restului* (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar a <tex>\in</tex> Z ~n~ si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo n ~i~ , i <tex>\in</tex> {1, 2, ..., k}. Cu alte cuvinte, operatiile in Z ~n~  pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo n ~i~ .<p>
<p>Pentru orice a, b <tex>\in</tex> Z ~n~, notam a ~i~ = a mod n, respectiv b ~i~ = b mod n, generand corespondentele         a <tex>\leftrightarrow</tex> {a ~1~ ,  a ~2~ , ..., a ~k~ } respectiv b <tex>\leftrightarrow</tex> {b ~1~ , b ~2~ , ..., b ~k~ }. Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator     <tex>\circ</tex> <tex>\in</tex> {+, -, * }, a <tex>\circ</tex> b <tex>\leftrightarrow</tex> {(a ~1~ <tex>\circ</tex> b ~1~) mod n ~1~ , (a ~2~ <tex>\circ</tex> b ~2~ )mod n ~2~ , ..., (a ~k~ <tex>\circ</tex> b ~k~ ) mod n ~k~ } ramane o corespondenta valida.</p>

<p>Pentru inceput, sa consideram sirul n = n{~1~}, n{~2~}, ..., n{~k~}, .. ale carui elemente sunt, luate doua cate doua, prime intre ele.</p>
<p>*Teorema chineza a restului* (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar a <tex>\in</tex> Z{~n~} si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo n{~i~}, i <tex>\in</tex> {1, 2, ..., k}. Cu alte cuvinte, operatiile in Z{~n~} pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo n{~i~}.<p>
<p>Pentru orice a, b <tex>\in</tex> Z{~n~}, notam a{~i~} = a mod n, respectiv b{~i~} = b mod n, generand corespondentele a <tex>\leftrightarrow</tex> {a{~1~} ,  a{~2~} , ..., a{~k~}} respectiv b <tex>\leftrightarrow</tex> {b{~1~}, b{~2~}, ..., b{~k~}}. Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator <tex>\circ</tex> <tex>\in</tex> {+, -, * }, a <tex>\circ</tex> b <tex>\leftrightarrow</tex> {(a{~1~} <tex>\circ</tex> b{~1~}) mod n{~1~} , (a ~2~ <tex>\circ</tex> b ~2~ )mod n ~2~ , ..., (a ~k~ <tex>\circ</tex> b ~k~ ) mod n ~k~ } ramane o corespondenta valida.</p>

<p>Problema care se iveste imediat este conversia dintr-o forma in alta. Transformarea unui numar in multimea corespunzatoare este imediata. Partea mai dificila este operatia inversa, iar aceasta este problema care va fi tratata in continuare.</p>
<p>Pentru determinarea numarului x<tex>\in</tex>Z ~n~ , corespunzator multimii {a ~1~ , a ~2~ , ..., a ~k~ }, este suficienta rezolvarea sistemului de ecuatii modulare:</p>