</p>
<p>

Daca deteriminam valoarea x minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor n ~1~ , n ~2~ , ..., n ~k~ .

Dacã deteriminam valoarea x minima care satisface sistemul de ecuatii modulare, toate celelalte solutii vor fi obtinute adunand la acesta un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor n ~1~ , n ~2~ , ..., n ~k~ .

Din n ~1~ {*} b ~1~ + a ~1~ = n ~2~ {*} b ~2~ + a ~2~ se obtine n ~1~ {*} b ~1~ - n ~2~ {*} b ~2~
= a ~2~ - a ~1~ .

Fie d = cmmdc(n ~1~ , n ~2~ ). Aplicand "algoritmul extins al lui Euclid":http://infoarena.ro/Algoritmul-lui-Euclid se determina valorile c ~1~ si c ~2~ astfel incat n ~1~ {*} c ~1~ + n ~2~ {*} c ~2~ = d.

Fie d = cmmdc(n ~1~ , n ~2~ ). Aplicand algoritmul extins al lui Euclid se determina valorile c ~1~ si c ~2~ astfel incat n ~1~ {*} c ~1~ + n ~2~ {*} c ~2~ = d.

Amplificand cu (a ~2~ - a ~1~ ) / d se obtine:
 n ~1~ {*} c ~1~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ) / d + n ~2~ {*} c ~2~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ) / d = a ~2~ - a ~1~ .

Am putea fi tentati sa credem ca b ~1~ = c ~1~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ) / d si b ~2~ = c ~2~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ), dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie. Fie h = cmmmc(n ~1~, n ~2~ ), valoarea minima pentru care, daca x este solutie, atunci si x + h este solutie (cu alte

Am putea fi tentati sa credem ca b ~1~ = c ~1~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ) / d si b ~2~ = c ~2~ {*} (a ~2~ - a ~1~ ), dar aceasta nu este intotdeauna cea mai buna solutie. Fie h = cmmmc(n ~1~, n ~2~ ), valoarea minima pentru care, dac x este solutie, atunci si x + h este solutie (cu alte

cuvinte, h este perioada).

Notand l = (a ~2~ - a ~1~ ) / d, observam ca n ~1~ {*} c ~1~ {*} l - n ~2~ {*} c ~
l + k · h - k · h = n1 · (c1 · l + k · h / n1) - n2 · (c2 · l + k · h

Notând l = (a ~2~ - a ~1~ ) / d, observam ca n ~1~ {*} c ~1~ {*} l - n ~2~ {*} c ~
l + k · h - k · h = n1 · (c1 · l + k · h / n1) - n2 · (c2 · l + k · h

/ n2) satisface sistemul.

Dorim sã gãsim cea mai micã soluþie, deci valoarea c1
· l + k · h / n1 trebuie sã fie cât mai micã posibil. Fie m1 =
c1 · l + k · h / n1, iar n1 · m1 + b1 cea mai micã valoare care

Dorim sã gãsim cea mai micã soluþie, deci valoarea c1
· l + k · h / n1 trebuie sã fie cât mai micã posibil. Fie m1 =
c1 · l + k · h / n1, iar n1 · m1 + b1 cea mai micã valoare care

satisface sistemul.

ªtim cã n1 · m1 + b1 < h ºi existã o singurã soluþie mai
micã decât h. Avem h / n1 > m1 � 0, deci m1 = (c1 · l)

ªtim cã n1 · m1 + b1 < h ºi existã o singurã soluþie mai
micã decât h. Avem h / n1 > m1 ≥ 0, deci m1 = (c1 · l)

mod (h / n1).

Sistemul format din cele douã ecuaþii este satisfãcut
pentru valorile x = cmmmc(n1, n2) · i + n1 · m1 + b1, pentru
i � 0.

Sistemul format din cele douã ecuaþii este satisfãcut
pentru valorile x = cmmmc(n1, n2) · i + n1 · m1 + b1, pentru
i ≥ 0.

Sistemul este astfel echivalent cu

x � n1 · m1 + b1 (mod cmmmc(n1, n2)).
Pentru a rezolva un sistem de ecuaþii cu mai mult de
douã necunoscute este suficient sã aplicãm succesiv operaþiile
descrise mai sus, reducând perechile de ecuaþii la
una singurã echivalentã, pânã când rãmâne o singurã ecuaþie
modularã.

x ≡ n1 · m1 + b1 (mod cmmmc(n1, n2)).
Pentru a rezolva un sistem de ecuaþii cu mai mult de
douã necunoscute este suficient sã aplicãm succesiv operaþiile
descrise mai sus, reducând perechile de ecuaþii la
una singurã echivalentã, pânã când rãmâne o singurã ecuaþie
modularã.

</p>
* acest articol trebuie imbunatatit