*  se calculeaza x ~i~ , i ∈ {1, 2, ..., k} cu proprietatea M ~i~ {*} x ~i~ ࣕ 1 (mod n ~i~ ); cu alte cuvinte, avem x ~i~ = M ~i~ -1 mod n ~i~ ;
*  se determina x = (a ~1~  {*} M ~1~ {*} x ~1~ + a ~2~ {*} M ~2~ {*} x ~2~ + ... + a ~k~ {*} M ~k~ {*} x ~k~) mod n.

<p>Sa demonstram mai intai ca acesta valoare x satisface sistemul. Este necesar ca pentru orice i ∈ {1, 2, ..., k}, x ≡ a ~i~ (mod n ~i~ ).</p>
 
<p>Mai exact, trebuie sa fie satisfacuta egalitatea ((a ~1~ {*} M ~1~ {*} x ~1~ + a ~2~ {*} M ~2~ {*} x ~2~ + ... + a ~k~ {*} M ~k~ {*} x ~k~ ) mod n) mod n ~i~ = a ~i~ , ∀ i ∈ {1, 2, ..., k}.</p>
 
<p>Datorita faptului ca n ~i~ | n, avem (a ~1~ {*} M ~1~ {*} x ~1~ + a ~2~ {*} M ~2~ {*} x ~2~ + ... + a ~k~ {*} M ~k~ {*} x ~k~ ) mod n ~i~ = a ~i~ . Stim ca M ~i~ = n / n ~i~, pentru orice j ≠ i, M ~j~ mod n ~i~ = 0, deci oricare ar fi j ≠ i, (a ~j~ {*} M ~j~ {*} x ~j~) mod n ~i~ = 0. Este suficient sa demonstram ca (a ~i~ {*} M ~i~ {*} x ~i~ ) mod n ~i~ = a ~i~ ⇔ (a ~i~ {*} (M ~i~ {*} x ~i~ ) mod n ~i~ ) mod n ~i~ = a ~i~ . Folosind M ~i~ {*} x ~i~ ≡ 1 (mod n ~i~) ajungem la egalitatea evidenta
a ~i~ = a ~i~ (q.e.d.)</p>
 
<p>Mai ramane de verificat daca valoarea x este unica. Fie x ^'^ o alta solutie; avem x < n si x ^'^ < n. Dacã  x &#2261; a ~i~ (mod n ~i~ ) si x ^'^ x &#2261; a ~i~ (mod n ~i~ ), oricare ar fi i &#8712; {1, 2, ..., k}, presupunand ca x ^'^ < x, avem x ^'6^ - x &#2261; 0 (mod n ~i~ ), oricare ar fi i &#8712; {1, 2, ... k}.</p>
 
<p>Datorita faptului ca numerele n ~i~ sunt relativ prime, rezulta ca x ^'^ - x = k {*} n, k &#8712; Z ^*^ , deci x ^'^ - x ≥ n, ceea ce contrazice ipoteza initiala. Asadar, solutia este unica, asa cum poate fi dedus si din t.c.r.</p>
 
<p>Mai mult, verificand daca se pastreaza corespondenta in cazul aplicarii operatorilor, demonstrarea t.c.r. poate fi usor incheiata.</p>
 

* acest articol trebuie imbunatatit