<p>*Teorema chineza a restului* (t.c.r.) afirma ca exista o corespondenta biunivoca intre orice numar a &#8712; Z ~n~ si multimea ordonata de resturi ale lui a modulo n ~i~ , i &#8712; {1, 2, ..., k}. Cu alte cuvinte, operatiile in Z ~n~  pot fi aplicate echivalent atat pe numere cat si pe multimile ordonate corespunzatoare resturilor modulo n ~i~ .<p>
<p>Pentru orice a, b &#8712; Z ~n~, notam a ~i~ = a mod n, respectiv b ~i~ = b mod n, generand corespondentele a corespondent cu {a ~1~ , a ~2~ , ..., a ~k~ } respectiv b corespondent cu {b ~1~ , b ~2~ , ..., b ~k~ }. Conform teoremei chineze a restului, pentru orice operator op &#8712; {+, -, * }, a op b corespondent cu {(a ~1~ op b ~1~) mod n ~1~ , (a ~2~ op b ~2~ )mod n ~2~ , ..., (a ~k~ op b ~k~ ) mod n ~k~ } ramane o corespondenta valida.</p>
<p>Problema care se iveste imediat este conversia dintr-o forma in alta. Transformarea unui numar in multimea corespunzatoare este imediata. Partea mai dificila este operatia inversa, iar aceasta este problema care va fi tratata in continuare.</p>

<p>Pentru determinarea numarului x  Z ~n~ , corespunzator multimii {a ~1~ , a ~2~ , ..., a ~k~ }, este suficienta rezolvarea sistemului de ecuatii modulare:</p>
 
 <p>    x &#2261; a ~1~ (mod n ~1~ )
 
        x &#2261; a ~2~ (mod n ~2~ )
 
         ...
 
        x &#2261; a ~k~ (mod n ~k~ )
</p>
 
<p>Deoarece avem de a face cu o corespondenta biunivoca, conform teoremei, exista un singur x &#8712; Z ~n~ care satisface sistemul de mai sus. Procedeul prin care se determina aceasta valoare nu este deosebit de complicat:
</p>
 
*  se noteaza n = n ~1~ {*} n ~2~  {*} ... {*} n ~k~ si M ~i~ = n / n ~i~ (deoarece oricare doua valori n ~i~ si n ~j~ sunt prime intre ele, avem intotdeauna cmmdc(M ~i~, n ~i~ ) = 1);
*  se calculeaza x ~i~ , i &#8712; {1, 2, ..., k} cu proprietatea M ~i~ {*} x ~i~ &#2261; 1 (mod n ~i~ ); cu alte cuvinte, avem x ~i~ = M ~i~ -1 mod n ~i~ ;
*  se determina x = (a ~1~  {*} M ~1~ {*} x ~1~ + a ~2~ {*} M ~2~ {*} x ~2~ + ... + a ~k~ {*} M ~k~ {*} x ~k~) mod n.
 

* acest articol trebuie imbunatatit