Hash H;
void InitHash1(Hash H)

{ int i;
 
  for (i=0; i<M; H[i++]=0);

{
  for (int i=0; i<M; H[i++]=0);

}
inline int h(DataType K)

}
==

Prin "numar de intrari" in tabela se intelege numarul de elemente ale vectorului $H$; in general, orice tabela hash este un vector. Pentru ca functiile sa fie cat mai generale, am dat tipului de data int un nou nume _DataType_. In principiu, tabelele Hash se aplica oricarui tip de date. In realitate, fenomenul este tocmai cel invers: orice tip de date trebuie "convertita" printr-o metoda sau alta la tipul de date int, iar functia de dispersie primeste ca parametru un intreg. Functiile hash prezentate in viitor nu vor mai lucra decat cu variabile de tip intreg. Vom vorbi mai tarziu despre cum se poate face conversia. Acum sa generalizam exemplul de mai sus.

Prin "numar de intrari" in tabela se intelege numarul de elemente ale vectorului $H$; in general, orice tabela hash este un vector. Pentru ca functiile sa fie cat mai generale, am dat tipului de data _int_ un nou nume _DataType_. In principiu, tabelele Hash se aplica oricarui tip de date. In realitate, fenomenul este tocmai cel invers: orice tip de date trebuie "convertita" printr-o metoda sau alta la tipul de date _int_, iar functia de dispersie primeste ca parametru un intreg. Functiile hash prezentate in viitor nu vor mai lucra decat cu variabile de tip intreg. Vom vorbi mai tarziu despre cum se poate face conversia. Acum sa generalizam exemplul de mai sus.

Intr-adevar, cazul anterior este mult prea simplu. Sa ne inchipuim de pilda ca in loc de numere mai mici ca 1000 avem numere de pana la 2.000.000.000. In aceasta situatie posibilitatea de a reprezenta tabela ca un vector caracteristic iese din discutie. Numarul de intrari in tabela este de ordinul miilor, cel mult al zecilor de mii, deci cu mult mai mic decat numarul total de chei (numere) posibile. Ce avem de facut ? Am putea incerca sa adaugam un numar $K$ intr-o tabela cu $M$ intrari (numerotate de la 0 la $M-1$) pe pozitia $K mod M$, adica $h(K)=K mod M$. Care va fi insa rezultatul ? Functia $h$ isi va pierde proprietatea de injectivitate, deoarece mai multor chei le poate corespunde aceeasi intrare in tabela, cum ar fi cazul numerelor 1234 si 2001234, ambele dand acelasi rest la impartirea prin $M=1000$. Nu putem avea insa speranta de a gasi o functie injectiva, pentru ca atunci numarul de intrari in tabela ar trebui sa fie cel putin egal cu numarul de chei distincte. Vrand-nevrand, trebuie sa rezolvam coliziunile (sau conflictele) care apar, adica situatiile cand mai multe chei distincte sunt repartizate la aceeasi intrare.

Intr-adevar, cazul anterior este mult prea simplu. Sa ne inchipuim de pilda ca in loc de numere mai mici ca 1000, avem numere de pana la 2.000.000.000. In aceasta situatie posibilitatea de a reprezenta tabela ca un vector caracteristic iese din discutie. Numarul de intrari in tabela este de ordinul miilor, cel mult al zecilor de mii, deci cu mult mai mic decat numarul total de chei (numere) posibile. Ce avem de facut? Am putea incerca sa adaugam un numar $K$ intr-o tabela cu $M$ intrari (numerotate de la 0 la $M-1$) pe pozitia $K mod M$, adica $h(K)=K mod M$. Care va fi insa rezultatul? Functia $h$ isi va pierde proprietatea de injectivitate, deoarece mai multor chei le poate corespunde aceeasi intrare in tabela, cum ar fi cazul numerelor 1234 si 2001234, ambele dand acelasi rest la impartirea prin $M=1000$. Nu putem avea insa speranta de a gasi o functie injectiva, pentru ca atunci numarul de intrari in tabela ar trebui sa fie cel putin egal cu numarul de chei distincte. Vrand-nevrand, trebuie sa rezolvam coliziunile (sau conflictele) care apar, adica situatiile cand mai multe chei distincte sunt repartizate la aceeasi intrare.

Vom reveni ulterior la oportunitatea alegerii functiei modul si a numarului de 1000 de intrari in tabela. Deocamdata vom folosi aceste date pentru a explica modul de functionare a tabelei hash pentru functii neinjective. Sa presupunem ca avem doua chei $K1$ si $K2$ care sunt repartizate de functia $h$ la aceeasi intrare $X$, adica $h(K1)=h(K2)=X$. Solutia cea mai comoda este ca $H(X)$ sa nu mai fie un numar, ci o lista liniara simplu sau dublu inlantuita care sa contina toate cheile gasite pana acum si repartizate la aceeasi intrare $X$. Prin urmare vectorul $H$ va fi un vector de liste:

!tabele-hash?hash2.JPG!

!tabele-hash-prezentare-detaliata?hash2.jpg!

Sa analizam acum complexitatea noilor proceduri de cautare, adaugare si stergere. Cautarea nu se va mai face in toata lista, ci numai in lista corespunzatoare din $H$. Altfel spus, o cheie $K$ se va cauta numai in lista $H(h(K))$, deoarece daca cheia $K$ a mai aparut, ea a fost in mod sigur repartizata la intrarea $H(h(K))$. De aceea, cautarea poate ajunge, in cazul cel mai defavorabil cand toate cheile din lista se repartizeaza la aceeasi intrare in hash, la o complexitate $O(N)$. Daca reusim insa sa gasim o functie care sa distrbuie cheile cat mai aleator, timpul de intrare se va reduce de $M$ ori. Avantajele sunt indiscutabile pentru $M=10000$ de exemplu.

Sa analizam acum complexitatea noilor proceduri de cautare, adaugare si stergere. Cautarea nu se va mai face in toata lista, ci numai in lista corespunzatoare din $H$. Altfel spus, o cheie $K$ se va cauta numai in lista $H(h(K))$, deoarece daca cheia $K$ a mai aparut, ea a fost in mod sigur repartizata la intrarea $H(h(K))$. De aceea, cautarea poate ajunge, in cazul cel mai defavorabil cand toate cheile din lista se repartizeaza la aceeasi intrare in hash, la o complexitate $O(N)$. Daca reusim insa sa gasim o functie care sa distribuie cheile cat mai aleator, timpul de intrare se va reduce de $M$ ori. Avantajele sunt indiscutabile pentru $M=10000$ de exemplu.

Intrucat operatiile cu liste liniare sunt in general cunoscute, nu vom insista asupra lor. Prezentam aici numai adaugarea si cautarea, lasandu-va ca tema scrierea functiei de stergere din tabela.

Hash H;
void InitHash2(Hash H)

{ int i;
 
  for (i=0; i<M; H[i++]=NULL);

{
  for (int i=0; i<M; H[i++]=NULL);

}
int h2(int K)

int Search2(Hash H, int K)
/* Intoarce 0 daca elementul nu exista in hash
   sau 1 daca el exista */

{ List *L;
 

{
  List *L;

  for (L=H[h2(K)]; L && (L->P != K); L = L->Next);
  return L!=NULL;
}
void Add2(Hash H, int K)

{ List *L = malloc(sizeof(List));

{
  List *L = malloc(sizeof(List));

  L->P = K;
  L->Next = H[h2(K)];
  H[h2(K)] = L;

Am spus ca functiile de dispersie sunt concepute sa lucreze numai pe date de tip intreg; celelalte tipuri de date trebuie convertite in prealabil la tipuri de date intregi. Iata cateva exemple:

* Variabilele de tip string pot fi transformate in numere in baza 256 prin inlocuirea fiecarui caracter cu codul sau _ASCII_. De exemplu, sirul "abac" poate fi privit ca un numar de 4 cifre in baza 256, si anume numarul (97 98 97 99). Conversia lui in baza 10 se face astfel:

* Variabilele de tip string pot fi transformate in numere in baza $256$ prin inlocuirea fiecarui caracter cu codul sau _ASCII_. De exemplu, sirul "abac" poate fi privit ca un numar de 4 cifre in baza $256$, si anume numarul $(97 98 97 99)$. Conversia lui in baza $10$ se face astfel:

$X = ((97*256 + 98)*256 + 97)*256 + 99 = 1.633.837.411$

$X = ((97 * 256 + 98) * 256 + 97) * 256 + 99 = 1.633.837.411$

Pentru stringuri mai lungi, rezulta numere mai mari. Uneori, ele nici nu mai pot fi reprezentate cu tipurile de date ordinale. Totusi, acest dezavantaj nu este suparator, deoarece majoritatea functiilor de dispersie presupun o impartire cu rest, care, indiferent de marimea numarului de la intrare, produce un numar controlabil.

Pentru stringuri mai lungi, rezulta numere mai mari. Uneori, ele nici nu mai pot fi reprezentate cu tipurile de date ordinare. Totusi, acest dezavantaj nu este suparator, deoarece majoritatea functiilor de dispersie presupun o impartire cu rest, care, indiferent de marimea numarului de la intrare, produce un numar controlabil.

* Variabilele de tip data se pot converti la intreg prin formula:

$X = A*366 + L*30 + Z$

$X = A*366 + L*31 + Z$

unde $A$, $L$ si $Z$ sunt respectiv anul, luna si ziua datei considerate. De fapt, aceasta functie aproximeaza numarul de zile scurse de la inceputul secolului I. Ea nu are pretentii de exactitate (ca dovada, toti anii sunt considerati a fi bisecti si toate lunile a avea 31 de zile), deoarece s-ar consuma timp inutil cu calcule mai sofisticate, fara ca dispersia insasi sa fie imbunatatita cu ceva. Conditia care trebuie neaparat respectata este ca functia de conversie data <tex> \leftrightarrow </tex> intreg sa fie injectiva, adica sa nu se intample ca la doua date $D1$ si $D2$ sa li se ataseze acelasi intreg $X$; daca acest lucru se intampla, pot aparea erori la cautarea in tabela (de exemplu, se poate raporta gasirea datei $D1$ cand de fapt a fost gasita data $D2$). Pentru a respecta injectivitatea, s-au considerat coeficientii 366 si 31 in loc de 365 si 30. Daca numarul de zile scurse de la 1 ianuarie anul 1 d.H. ar fi fost calculat cu exactitate, functia de conversie ar fi fost si surjectiva, dar, dupa cum am mai spus, acest fapt nu prezinta interes.

unde $A$, $L$ si $Z$ sunt respectiv anul, luna si ziua datei considerate. De fapt, aceasta functie aproximeaza numarul de zile scurse de la inceputul secolului I. Ea nu are pretentii de exactitate (ca dovada, toti anii sunt considerati a fi bisecti si toate lunile a avea 31 de zile), deoarece s-ar consuma timp inutil cu calcule mai sofisticate, fara ca dispersia insasi sa fie imbunatatita cu ceva. Conditia care trebuie neaparat respectata este ca functia de conversie data <tex> \leftrightarrow </tex> intreg sa fie injectiva, adica sa nu se intample ca la doua date $D1$ si $D2$ sa li se ataseze acelasi intreg $X$; daca acest lucru se intampla, pot aparea erori la cautarea in tabela (de exemplu, se poate raporta gasirea datei $D1$ cand de fapt a fost gasita data $D2$). Pentru a respecta injectivitatea, s-au considerat coeficientii $366$ si $31$ in loc de $365$ si $30$. Daca numarul de zile scurse de la 1 ianuarie anul 1 d.H. ar fi fost calculat cu exactitate, functia de conversie ar fi fost si surjectiva, dar, dupa cum am mai spus, acest fapt nu prezinta interes.

* Analog, variabilele de tip ora se pot converti la intreg cu formula:

$X = (H*60 + M)*60 + S$

$X = (H * 60 + M) * 60 + S$

unde $H$, $M$ si $S$ sunt respectiv ora, minutul si secunda considerate, sau cu formula

$X = ((H*60 + M)*60 + S) + 100$

$X = ((H * 60 + M) * 60 + S) * 100$

daca se tine cont si de sutimile de secunda. De data aceasta, functia este surjectiva (oricarui numar intreg din intervalul 0 - 8.639.999 ii corespunde in mod unic o ora).

* In majoritatea cazurilor, datele sunt structuri care contin numere si stringuri. O buna metoda de conversie consta in alipirea tuturor acestor date si in convertirea la baza 256. Caracterele se convertesc prin simpla inlocuire cu codul _ASCII_ corespunzator, iar numerele prin convertirea in baza 2 si taierea in "bucati" de cate opt biti. Rezulta numere cu multe cifre (prea multe chiar si pentru tipul longint), care sunt supuse unei operatii de impartire cu rest. Functia de conversie trebuie sa fie injectiva. De exemplu, in cazul tablei de sah despre care am amintit mai inainte, ea poate fi transformata intr-un vector cu 64 de cifre in baza 16, cifra 0 semnificand un patrat gol, cifrele 1-6 semnificand piesele albe (pion, cal, nebun, turn, regina, rege) iar cifrele 7-12 semnificand piesele negre. Prin trecerea acestui vector in baza 256, rezulta un numar cu 32 de cifre. La acesta se mai pot adauga alte cifre, respectiv partea la mutare (0 pentru alb, 1 pentru negru), posibilitatea de a efectua rocada mica/mare de catre alb/negru, numarul de mutari scurse de la inceputul partidei si asa mai departe.

* In majoritatea cazurilor, datele sunt structuri care contin numere si stringuri. O buna metoda de conversie consta in alipirea tuturor acestor date si in convertirea la baza $256$. Caracterele se convertesc prin simpla inlocuire cu codul _ASCII_ corespunzator, iar numerele prin convertirea in baza $2$ si taierea in "bucati" de cate opt biti. Rezulta numere cu multe cifre (prea multe chiar si pentru tipul longint), care sunt supuse unei operatii de impartire cu rest. Functia de conversie trebuie sa fie injectiva. De exemplu, in cazul tablei de sah despre care am amintit mai inainte, ea poate fi transformata intr-un vector cu 64 de cifre in baza 16, cifra 0 semnificand un patrat gol, cifrele 1-6 semnificand piesele albe (pion, cal, nebun, turn, regina, rege), iar cifrele 7-12 semnificand piesele negre. Prin trecerea acestui vector in baza 256, rezulta un numar cu 32 de cifre. La acesta se mai pot adauga alte cifre, respectiv partea la mutare (0 pentru alb, 1 pentru negru), posibilitatea de a efectua rocada mica/mare de catre alb/negru, numarul de mutari scurse de la inceputul partidei si asa mai departe.

Vom termina prin a prezenta doua functii de dispersie foarte des folosite.

Despre aceasta metoda am mai vorbit. Functia hash este: $h(x) = x mod M$ unde $M$ este numarul de intrari in tabela. Problema care se pune este sa-l alegem pe $M$ cat mai bine, astfel incat numarul de coliziuni pentru oricare din intrari sa fie cat mai mic. De asemenea, trebuie ca $M$ sa fie cat mai mare, pentru ca media numarului de chei repartizate la aceeasi intrare sa fie cat mai mica. Totusi, experienta arata ca nu orice valoare a lui $M$ este buna.

De exemplu, la prima vedere s-ar putea spune ca o buna valoare pentru $M$ este o putere a lui 2, cum ar fi 1024, pentru ca operatia de impartire cu rest se poate face foarte usor in aceasta situatie. Totusi, functia $h(x) = x mod 1024$ are un mare defect: ea nu tine cont decat de ultimii 10 biti ai numarului $x$. Daca datele de intrare sunt numere in mare majoritate pare, ele vor fi repartizate in aceeasi proportie la intrarile cu numar de ordine par, pentru ca functia $h$ pastreaza paritatea. Din aceleasi motive, alegerea unei valori ca 1000 sau 2000 nu este prea inspirata, deoarece tine cont numai de ultimele 3-4 cifre ale reprezentarii zecimale. Multe valori pot da acelasi rest la impartirea prin 1000. De exemplu, daca datele de intrare sunt anii de nastere ai unor persoane dintr-o agenda telefonica, iar functia $(x)=x mod 1000$, atunci majoritatea cheilor se vor ingramadi (termenul este sugestiv) intre intrarile 920 si 990, restul ramanand nefolosite.

De exemplu, la prima vedere s-ar putea spune ca o buna valoare pentru $M$ este o putere a lui 2, cum ar fi 1024, pentru ca operatia de impartire cu rest se poate face foarte usor in aceasta situatie. Totusi, functia $h(x) = x mod 1024$ are un mare defect: ea nu tine cont decat de ultimii 10 biti ai numarului $x$. Daca datele de intrare sunt numere in mare majoritate pare, ele vor fi repartizate in aceeasi proportie la intrarile cu numar de ordine par, pentru ca functia $h$ pastreaza paritatea. Din aceleasi motive, alegerea unei valori ca 1000 sau 2000 nu este prea inspirata, deoarece tine cont numai de ultimele 3-4 cifre ale reprezentarii zecimale. Multe valori pot da acelasi rest la impartirea prin 1000. De exemplu, daca datele de intrare sunt anii de nastere ai unor persoane dintr-o agenda telefonica, iar functia $h(x)=x mod 1000$, atunci majoritatea cheilor se vor ingramadi (termenul este sugestiv) intre intrarile 920 si 990, restul ramanand nefolosite.

Practic, trebuie ca $M$ sa nu fie un numar rotund in nici o baza aritmetica, sau cel putin nu in bazele 2 si 10. O buna alegere pentru $M$ sunt numerele prime care sa nu fie apropiate de nici o putere a lui 2. De exemplu, in locul unei tabele cu $M=10000$ de intrari, care s-ar comporta dezastruos, putem folosi una cu 9973 de intrari. Chiar si aceasta alegere poate fi imbunatatita; intre puterile lui 2 vecine, respectiv 8192 si 16384, se poate alege un numar prim din zona 11000-12000. Risipa de memorie de circa 1000-2000 de intrari in tabela va fi pe deplin compensata de imbunatatirea cautarii.
h2. Metoda inmultirii

Pentru aceasta metoda functia hash este $h(x) = [M(x*A mod 1)]$. Aici $A$ este un numar pozitiv subunitar, $0 < A < 1$, iar prin $x*A mod 1$  se intelege partea fractionara a lui $x*A$, adica $x*A - [x*A]$. De exemplu, daca alegem $M=1234$ si $A=0.3$, iar $x=1997$, atunci avem $h(x) = [1234*(599.1 mod 1)] = [1234*0.1] = 123$. Se observa ca functia $h$ produce numere intre 0 si $M-1$. Intr-adevar $0 &le; x*A mod 1 < 1$ <tex> \Rightarrow </tex> $0 &le; M(x*A mod 1) < M$.
 
In acest caz, valoarea lui $M$ nu mai are o mare importanta. O putem deci alege cat de mare ne convine, eventual o putere a lui 2. In practica, s-a observat ca dispersia este mai buna pentru unele valori ale lui A si mai proasta pentru altele. Donald Knuth propune valoarea

Pentru aceasta metoda functia hash este $h(x) = [M*(x*A mod 1)]$. Aici $A$ este un numar pozitiv subunitar, $0 < A < 1$, iar prin $x*A mod 1$  se intelege partea fractionara a lui $x*A$, adica $x*A - [x*A]$. De exemplu, daca alegem $M=1234$ si $A=0.3$, iar $x=1997$, atunci avem $h(x) = [1234*(599.1 mod 1)] = [1234*0.1] = 123$. Se observa ca functia $h$ produce numere intre 0 si $M-1$. Intr-adevar $0 &le; x*A mod 1 < 1$ <tex> \Rightarrow </tex> $0 &le; M*(x*A mod 1) < M$.

<tex> A = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618034 </tex>

In acest caz, valoarea lui $M$ nu mai are o mare importanta. O putem deci alege cat de mare ne convine, eventual o putere a lui 2. In practica, s-a observat ca dispersia este mai buna pentru unele valori ale lui A si mai proasta pentru altele. Donald Knuth propune valoarea <tex> A = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618034 </tex>.

Ca o ultima precizare necesara la acest capitol, mentionam ca functia de cautare e bine sa nu intoarca pur si simplu 0 sau 1, dupa cum cheia cautata a mai aparut sau nu inainte intre datele de intrare. E recomandabil ca functia sa intoarca un pointer la zona de memorie in care se afla prima aparitie a cheii cautate. Vom da acum un exemplu in care aceasta valoare returnata este utila. Daca, in cazul prezentat mai sus al unui program de sah, se ajunge la o anumita pozitie P dupa ce albul a pierdut dreptul de a face rocada, aceasta pozitie va fi retinuta in hash. Retinerea nu se va face nicidecum efectiv (toata tabla), pentru ca s-ar ocupa foarte multa memorie. Se va memora in loc numai un pointer la pozitia respectiva din lista de pozitii analizate. Pe langa economia de memorie in cazul cheilor de mari dimensiuni, mai exista si alt avantaj. Sa ne inchipuim ca, analizand in continuare tabla, programul va ajunge la aceeasi pozitie P, dar in care albul are inca dreptul de a face rocada. E limpede ca aceasta varianta este mai promitatoare decat precedenta, deoarece albul are o libertate mai mare de miscare. Se impune deci fie stergerea vechii pozitii P din lista si adaugarea noii pozitii, fie modificarea celei vechi prin setarea unei variabile suplimentare care indica dreptul albului de a face rocada. Aceasta modificare este usor de facut, intrucat cautarea in hash va returna chiar un pointer la pozitia care trebuie modificata. Bineinteles, in cazul in care pozitia cautata nu se afla in hash, functia de cautare trebuie sa intoarca NULL.

Board B;
int h3(Board *B)

{ int i,j;

{
  int i,j;

  /* Valoarea initiala a lui S este un numar pe 17 biti care
     inglobeaza toate variabilele suplimentare pe langa T.
     S se va lua apoi modulo M */

          +(B->b_CastleW << 8)    /* 2 biti */
          +(B->b_CastleB << 10)   /* 2 biti */
          +(B->b_Side << 12)      /* 1 bit */

          +B->b_EP<<13) % M;      /* 4 biti */

          +(B->b_EP << 13)) % M;      /* 4 biti */

  for (i=0; i<=7; i++)
    for (j=0; j<=7; j++)

}
==

TODO: de fixat toate link-urile din site care trimiteau la articolul asta